Đường cong khép kín trong hình được tạo từ 9 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có độ dài là $\frac{4\pi }{3}$, trong đó tâm của mỗi đường tròn tương ứng là một trong các đỉnh của một lục giác đều cạnh bằng 4. Diện tích được bao bọc bởi đường cong bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các đỉnh lục giác đều cạnh 4 là A, B, C, D, E, F. Đường cong gồm 9 cung tròn: 3 cung lồi (ngoài) tâm tại A, C, E và 6 cung lõm (trong) tâm tại B, D, F.

Do tính đối xứng, các cung gặp nhau tại các điểm nằm trên các cạnh của lục giác. Gọi $R$ là bán kính cung tâm $A$ và $r$ là bán kính cung tâm $B$; điểm gặp nhau trên cạnh $AB$ thỏa mãn $R+r=4$.

Mỗi cung có độ dài $\frac{4\pi }{3}$. Cung tâm $A$ nối điểm trên tia $AB$ với điểm trên tia $AF$ nên góc ở tâm là $120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$ (giữa hai cạnh $AB$, $AF$). Suy ra $R=\frac{4\pi /3}{2\pi /3}=2$. Tương tự các cung khác cũng có góc ở tâm $\frac{2\pi }{3}$ và bán kính $r=4-2=2$. Kiểm tra: độ dài mỗi cung $=2\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$ ✓; các điểm nối chính là trung điểm các cạnh của lục giác.

Diện tích bao bọc = diện tích lục giác + 3 hình quạt tâm $A,C,E$ (nằm trong lục giác, mỗi quạt bán kính 2, góc $120^{\circ }$) − 3 hình quạt tâm $B,D,F$ (bị cung lõm cắt ra ngoài, cùng bán kính 2, góc $120^{\circ }$). Vì các hình quạt bằng nhau nên chúng triệt tiêu:
$$S=S_{lụcgi\acute{a}c}=6\cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4}=24\sqrt{3}\approx 41,569.$$

Làm tròn đến hàng phần mười: $S\approx 41,6$.