Người ta ước tính rằng số lượng cá thể của một loài trong tự nhiên $t$ năm sau khi chính sách bảo vệ được thiết lập có thể được mô hình hoá bằng hàm số $N(t)=\frac{20(m+1+3t)}{1+0,05t}$, $t\ge 0$ (ở đó $m$ là hằng số). Biết rằng số lượng cá thể của loài đó tại thời điểm khi bắt đầu thiết lập chính sách bảo vệ là 80 con.

(AI giải đề cho tôi)
Tại t=0: N(0)=20(m+1)=80 ⟹ m+1=4 ⟹ m=3 (ý c đúng). Khi đó N(t)=20(4+3t)/(1+0.05t). Xét N'(t)=20[3(1+0.05t)−0.05(4+3t)]/(1+0.05t)²=20(3+0.15t−0.2−0.15t)/(1+0.05t)²=56/(1+0.05t)²>0 với mọi t≥0, nên N(t) luôn tăng dần (ý d sai). Giới hạn lim(t→∞) N(t)=20·3/0.05=1200, và vì N tăng dần nên N(t)<1200 với mọi t, số cá thể không bao giờ vượt quá 1200 con (ý a đúng). Với ý b: N(t)>500 ⟺ 20(4+3t)>500(1+0.05t) ⟺ 80+60t>500+25t ⟺ 35t>420 ⟺ t>12. Vậy cần ít nhất 12 năm (không phải 10 năm) để số cá thể vượt 500 con, ý b sai. Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai, khớp đáp án nguồn (ĐSDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
N(t) tăng dần và lim(t→∞) N(t)=1200, nên N(t)<1200 với mọi t≥0, không bao giờ vượt quá 1200 con.
b) (AI giải đề cho tôi)
N(t)>500 ⟺ t>12, vậy cần ít nhất 12 năm chứ không phải 10 năm.
c) (AI giải đề cho tôi)
N(0)=20(m+1)=80 ⟹ m=3.
d) (AI giải đề cho tôi)
N'(t)=56/(1+0.05t)²>0 với mọi t≥0 nên N(t) luôn tăng dần, không giảm.