Người ta muốn lắp một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí $A$ đến kho chứa dầu đặt ở vị trí $B$ qua một con sông rộng $2\text{ km}$, dài $6\text{ km}$. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí $P$ là $4\text{ tỷ VNĐ/1 km}$ và chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ $P$ đến kho chứa dầu tại vị trí $B$ là $8\text{ tỷ VNĐ/1 km}$ (tham khảo hình vẽ)
[IMAGE:img_q22_river]

Hỏi để chi phí lắp đặt ít nhất, cần đặt vị trí $P$ cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Câu 2: Một cơ sở sản xuất sữa hạt chất lượng cao có thể sản xuất được tối đa $300$ lít mỗi ngày. Chi phí sản xuất $x$ lít sữa mỗi ngày bao gồm: chi phí nhân công là một triệu đồng/ngày; chi phí nguyên vật liệu, đóng chai, bao bì là $35$ nghìn đồng cho một lít sữa được sản xuất; chi phí bảo dưỡng máy móc là $C_b(x)=0,00001x^2$ (triệu đồng). Ngoài ra, nếu $x$ lít sữa sản xuất mỗi ngày vượt $200$ lít thì ngoài các chi phí trên còn phát sinh thêm chi phí do vận hành quá tải là $C_v(x)=0,00003(x-200{)}^3$ (triệu đồng). Giá bán mỗi lít sữa là $60$ nghìn đồng. Biết cơ sở bán hết lượng sữa sản xuất trong ngày. Hỏi mỗi ngày cơ sở có lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng) đạt được nhiều nhất là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một chất điểm chuyển động theo phương ngang với quãng đường $s$ (mét) vật đi được là một hàm số theo thời gian $t$ (giây) được cho bởi công thức $s=-\frac{t^3}{2}+9t^2$. Hỏi trong khoảng thời gian $12$ giây, kể từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động, thì vận tốc của chất điểm ($\text{m/s}$) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Trong một ngày, nếu doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ $x$ sản phẩm ($x\in \mathbb{N},1\le x\le 190$) thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là $\overline{C}(x)=2x^2-35x+140+\frac{200}{x}$ (USD/sản phẩm) và toàn bộ chúng được bán với giá $(1400-6,5x)$ (USD) một sản phẩm. Giả sử toàn bộ $x$ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ hết.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $1$ và cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ là một phần tư đường tròn tâm $A$, bán kính $AB$ (tham khảo hình vẽ bên). Gọi $M$ là một điểm di động trên cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$. Tiếp tuyến với cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ tại điểm $M$ cắt cạnh $CD$ tại điểm $P$ và cắt cạnh $BC$ tại điểm $Q$. Hỏi diện tích lớn nhất tam giác $PQC$ bằng bao nhiêu *(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*?
[IMAGE_1]

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho $A$ ở trên bờ biển đến một vị trí $B$ trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển một khoảng $BC=6\text{ km}$. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $12\text{ km}$. Người ta cần xác định một vị trí $D$ trên $AC$ để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ADB$. Tính khoảng cách $AD$ để chi phí lắp ống là thấp nhất *(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*, biết rằng giá để lắp đặt mỗi $\text{km}$ đường ống trên bờ là $100$ triệu đồng và dưới nước là $250$ triệu đồng.
[IMAGE_1]

Một bể chứa dầu được thiết kế với hai đầu là hai nửa hình cầu có bán kính $r\text{ (m)}$ và phần thân ở giữa là một hình trụ có bán kính đáy $r\text{ (m)}$ và chiều cao $h\text{ (m)}$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Toàn bộ bể chứa được yêu cầu có thể tích là $9\pi {\text{ (m}}^3\text{)}$ và để đảm bảo tính ổn định trong quá trình vận chuyển, chiều cao $h$ của phần hình trụ phải thỏa mãn điều kiện $h\ge 2\text{ (m)}$. Chi phí để làm bể phụ thuộc vào diện tích $S$ của toàn bộ bề mặt ngoài của bể (bao gồm mặt xung quanh của phần hình trụ và bề mặt của hai nửa hình cầu). Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$ (đơn vị ${\text{m}}^2$ và làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
[IMAGE_1]