Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $1$ và cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ là một phần tư đường tròn tâm $A$, bán kính $AB$ (tham khảo hình vẽ bên). Gọi $M$ là một điểm di động trên cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$. Tiếp tuyến với cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ tại điểm $M$ cắt cạnh $CD$ tại điểm $P$ và cắt cạnh $BC$ tại điểm $Q$. Hỏi diện tích lớn nhất tam giác $PQC$ bằng bao nhiêu *(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*?
[IMAGE_1]

Một chất điểm chuyển động theo phương ngang với quãng đường $s$ (mét) vật đi được là một hàm số theo thời gian $t$ (giây) được cho bởi công thức $s=-\frac{t^3}{2}+9t^2$. Hỏi trong khoảng thời gian $12$ giây, kể từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động, tại thời điểm $t$ bằng bao nhiêu giây thì vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất?

Một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm. Trong một ngày, nếu doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ $x$ sản phẩm ($x\in \mathbb{N},1\le x\le 186$) thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là $\overline{C}(x)=x^2-6x+140+\frac{750}{x}$ (USD/sản phẩm) và toàn bộ chúng được bán với giá $(1400-7,5x)$ (USD) một sản phẩm. Giả sử toàn bộ $x$ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ hết.

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB=5\text{ km}$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng bằng $7\text{ km}$. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến điểm $M$ trên bờ biển với vận tốc $4\text{ km/h}$ rồi đi bộ thẳng đến $C$ với vận tốc $6\text{ km/h}$. Xác định khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $B$ để người đó đến kho nhanh nhất *(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*.
[IMAGE_1]

Một bể chứa dầu được thiết kế với hai đầu là hai nửa hình cầu có bán kính $r\text{ (m)}$ và phần thân ở giữa là một hình trụ có bán kính đáy $r\text{ (m)}$ và chiều cao $h\text{ (m)}$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Toàn bộ bể chứa được yêu cầu có thể tích là $9\pi {\text{ (m}}^3\text{)}$ và để đảm bảo tính ổn định trong quá trình vận chuyển, chiều cao $h$ của phần hình trụ phải thỏa mãn điều kiện $h\ge 2\text{ (m)}$. Chi phí để làm bể phụ thuộc vào diện tích toàn bộ bề mặt ngoài của bể (bao gồm mặt xung quanh của phần hình trụ và bề mặt của hai nửa hình cầu). Hãy xác định bán kính $r\text{ (m)}$ để chi phí làm bể là nhỏ nhất (viết kết quả ở dạng số thập phân).
[IMAGE_1]

Một đại lý nhập khẩu trái cây tươi để phân phối cho các cửa hàng. Mỗi lần nhập khẩu trái cây, khoản chi phí vận chuyển (không đổi) là $32$ triệu đồng. Chi phí bảo quản mỗi tạ trái cây dự trữ trong kho là $50$ nghìn đồng/ngày. Thời gian bảo quản trái cây trong kho tối đa là $15$ ngày. Biết rằng, kể từ ngày đầu tiên nhập hàng, đại lý sẽ phân phối tới các cửa hàng $20$ tạ trái cây mỗi ngày. Mỗi lần nhập hàng, đại lý phải nhập đủ trái cây cho bao nhiêu ngày phân phối để chi phí trung bình cho mỗi ngày thấp nhất (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí bảo quản trong kho)?

Câu 2. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: