Một vật chuyển động với gia tốc được cho bởi hàm số $a(t)=5\cos t$ (m/s²). Lúc bắt đầu chuyển động vật có vận tốc 2,5 m/s. Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất trong $\pi$ (s) đầu tiên.

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

Một công ty ước tính rằng nếu sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm $(0\le x\le 24)$ thì sẽ có doanh thu biên $R^{\prime }(x)=278-2x$ USD và chi phí biên $C^{\prime }(x)=\frac{6}{5}{x}^2-2x+8$ USD. Các hàm doanh thu biên và chi phí biên lần lượt là đạo hàm của hàm doanh thu $R(x)$ và hàm chi phí $C(x)$, dùng để biểu diễn tốc độ thay đổi của doanh thu và chi phí theo số lượng đơn vị sản phẩm.

Một khay nước có nhiệt độ ban đầu $A_0$ (đơn vị °C) được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Người ta thấy rằng tốc độ thay đổi nhiệt độ của nước trong khay phụ thuộc vào nhiệt độ ban đầu $A_0$ và thời gian để khay nước trong tủ, biểu diễn dưới dạng hàm số $f^{\prime }(t)=A_0\cdot {\left(\frac{4}{5}\right)}^t\cdot \ln \frac{4}{5}$ với $t$ là thời gian để trong tủ lạnh theo đơn vị giờ. Biết rằng sau 2 giờ và 3 giờ, người ta lấy khay ra và đo được nhiệt độ nước trong khay lần lượt là $25,6^{\circ }C$ và $20,48^{\circ }C$. Tính nhiệt độ ban đầu $A_0$ theo đơn vị ${}^{\circ }C$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=18x-6,f(0)=1$.

Cho hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+6x$. Biết $F(3)=27$. Tính $F(-3)$.

Khi nghiên cứu một quần thể vi khuẩn, người ta nhận thấy quần thể vi khuẩn đó ở ngày thứ $t$ có số lượng $N(t)$ con. Biết rằng tốc độ phát triển của quần thể đó là $N^{\prime }(t)=\frac{1000}{t}$ và sau ngày thứ nhất $(t=1)$ có 250 nghìn con. Số lượng vi khuẩn sau 10 ngày là bao nhiêu con (*làm tròn đến hàng đơn vị*)?