Một phân xưởng được đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng pickleball. Hiện tại phân xưởng đang có một số máy có thể cài đặt để mỗi máy trong 1 giờ sản xuất tự động được 30 quả bóng pickleball mà không cần công nhân tham gia. Chi phí nhân công cài đặt mỗi máy là 200 nghìn đồng và vận hành hệ thống là 192 nghìn đồng mỗi giờ. Phân xưởng nên dùng bao nhiêu máy để tiết kiệm chi phí nhân công và vận hành hệ thống?

Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đáy có thể tích 1 $\left(m^3\right)$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp 2 lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là 300000 đồng/$m^2$, chi phí vật liệu làm mặt bên là 400000 đồng/$m^2$ (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu,...). Hỏi với số tiền là 200 triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu chiếc thùng gỗ?

Một xí nghiệp chế biến cà phê bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu giá sản xuất mỗi kg cà phê là $x$ USD thì sản lượng xí nghiệp sản xuất được là $(2000x-150)$ (kg) và lượng tiêu thụ trong nước là $(4000-500x)$ (kg). Phần cà phê còn dư sẽ được xuất khẩu với giá cố định 10 USD mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg cà phê xuất khẩu thì xí nghiệp phải chịu mức thuế là $T$ USD. Giả sử lợi nhuận từ xuất khẩu và thuế thu được của nhà nước luôn giữ tỷ lệ $5:1$.

1) Gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x^2}{x+1}$ và đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x+\frac{1}{2}$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

2) Gia đình anh Thọ có mảnh đất, một phía giáp với đường (là một phần của đường thẳng), phần còn lại giáp với hồ nước là đường cong được mô hình hóa bởi một phần của đồ thị hàm số $f(x)=\frac{-x^2+5x-4}{x}$ như hình vẽ bên dưới, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 10 mét. Trong mảnh đất anh Thọ muốn rào một khu vực hình chữ nhật $ABCD$ với hai đỉnh $A,B$ nằm trên đồ thị hàm số $f(x)$ (phần giáp hồ) và cạnh $CD$ nằm trên trục hoành (phần giáp đường). Tính độ dài cạnh $BC$ (theo đơn vị mét) để diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất.

Một doanh nghiệp thủy sản A ở Việt Nam chuyên xuất khẩu hải sản sang một công ty B ở nước ngoài. Hai bên đã ký kết hợp đồng: mỗi tháng phía doanh nghiệp A sẽ xuất khẩu $x$ tấn hải sản, với số lượng tối đa là 120 tấn mỗi tháng. Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn hải sản $(x>0)$ thì giá bán cho mỗi tấn hải sản là $P(x)=46-0,002x^2$ (triệu đồng). Chi phí để doanh nghiệp chế biến và xuất khẩu hải sản gồm 140 triệu đồng chi phí cố định và 31 triệu đồng chi phí biến đổi cho mỗi tấn hải sản. Hỏi doanh nghiệp có thể đạt được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng mỗi tháng từ hoạt động xuất khẩu này?

Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384cm². Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3cm, để lề trái và lề phải đều là 2cm. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Trang sách có kích thước tối ưu khi phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất. Tính chu vi của trang sách khi đạt kích thước tối ưu.

Một nhà máy dự định sản xuất không quá 900 sản phẩm. Nếu nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm $\left(0\le x\le 900\right)$ thì lợi nhuận nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là
$$f\left(x\right)=-x^3+900x^2+56700x+450000\text{ (đoˆˋng)}.$$
Nhà máy cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?