Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $2a$.

Lời giải do AI suy luận từ dữ kiện đề (mọi cạnh bằng $2a$), khớp với đáp án nguồn mã đề 1062, Phần II câu 4 = S-Đ-Đ-S: a) SAI vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BO}\ne \overrightarrow{BC}$; b) ĐÚNG vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$; c) ĐÚNG vì tam giác $SBD$ vuông tại $S$ nên $\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{DB}=-|\overrightarrow{SD}{|}^2=-4a^2$, suy ra $\cos \left(\overrightarrow{SD},\overrightarrow{DB}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ và góc bằng $135^{\circ }$; d) SAI vì $\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{DB}=-4a^2\ne -2a^2$.
a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BO}$ với $O$ là tâm hình vuông, còn $\overrightarrow{BC}\ne 2\overrightarrow{BO}$. Alternatively, $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}$ would imply $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}$... dẫn đến $A+D=B+C$, vô lý với hình vuông $ABCD$ (đúng là $A+C=B+D$). Vậy ý a) SAI.
b) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$. Vậy ý b) ĐÚNG.
c) Tam giác $SBD$ có $SD=SB=2a$, $BD=2a\sqrt{2}$ nên $S{D}^2+S{B}^2=B{D}^2$, tức $\widehat{DSB}=90^{\circ }$ và $\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{SB}=0$. Khi đó $\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{SD}\cdot (\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SD})=0-|\overrightarrow{SD}{|}^2=-4a^2$. Suy ra $\cos \left(\overrightarrow{SD},\overrightarrow{DB}\right)=\frac{-4a^2}{2a\cdot 2a\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, nên góc bằng $135^{\circ }$. Vậy ý c) ĐÚNG.
d) Như tính trên, $\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{DB}=-4a^2\ne -2a^2$. Vậy ý d) SAI.