Một hộ làm nghề thủ công sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 21$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa (tính bằng nghìn đồng), được cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2-25x+548$. Giả sử hộ làm nghề này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $272$ nghìn đồng/$1$ mét vải lụa. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Một công ty dự định sản xuất không quá $600$ sản phẩm. Nếu công ty sản xuất $x$ sản phẩm $(1\le x\le 600)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=0,001x^3-1,999x^2+1006x+250$ (đơn vị nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x)=0,001x+\frac{250}{x}+1$ (nghìn đồng). Ngoài ra, công ty còn phải nộp thuế bổ sung cho mỗi sản phẩm được bán ra là $5$ nghìn đồng. Khoản thuế này được gọi là thuế phụ thu. Công ty cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một hộ gia đình sản xuất cơ khí nhỏ mỗi ngày sản xuất được $x$ sản phẩm $(0\le x\le 20)$. Chi phí biên để sản xuất $x$ sản phẩm, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm số sau $C^{\prime }(x)=3x^2-4x+10$. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là $500$ nghìn đồng. Giả sử cơ sở này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $270$ nghìn đồng/sản phẩm. Tính lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được khi sản xuất và bán sản phẩm?

Một công ty trung bình bán được $600$ chiếc máy lọc không khí mỗi tháng với giá $10$ triệu đồng một chiếc. Một khảo sát cho thấy nếu giảm giá bán mỗi chiếc $400$ nghìn đồng, thì số lượng bán ra tăng thêm khoảng $60$ chiếc mỗi tháng. Gọi $p$ (triệu đồng) là giá của mỗi máy, $x$ là số máy bán ra. Khi đó, hàm cầu là $p=p(x)$ và hàm doanh thu là $R(p)=p\cdot x$. Hỏi công ty phải bán mỗi máy với số tiền bao nhiêu triệu đồng để doanh thu là lớn nhất?

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $300000$ quả bóng Pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất được $60$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $125$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $90$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=t^3-3t^2+5t+2$, trong đó thời gian $t>0$ tính bằng giây và quãng đường $s$ tính bằng mét. Trong $5$ giây đầu vận tốc nhỏ nhất của chất điểm bằng bao nhiêu?

Bạn Trung có một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $15\text{ cm}$ và chiều rộng $10\text{ cm}$. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh $B$ của góc đó chạm lên cạnh $CD$. Biết nếp gấp $MN$ có độ dài nhỏ nhất bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast },b,c$ là các số nguyên tố. Tính tổng $a+b+c$.