Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $300000$ quả bóng Pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất được $60$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $125$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $90$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=t^3-3t^2+5t+2$, trong đó thời gian $t>0$ tính bằng giây và quãng đường $s$ tính bằng mét. Trong $5$ giây đầu vận tốc nhỏ nhất của chất điểm bằng bao nhiêu?

Bạn Trung có một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $15\text{ cm}$ và chiều rộng $10\text{ cm}$. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh $B$ của góc đó chạm lên cạnh $CD$. Biết nếp gấp $MN$ có độ dài nhỏ nhất bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast },b,c$ là các số nguyên tố. Tính tổng $a+b+c$.

Một cửa hàng thời trang tự thiết kế (Local Brand) đang bán một mẫu áo phông. Hiện tại, trung bình mỗi tháng cửa hàng bán được $500$ chiếc với giá $300$ nghìn đồng/chiếc. Dữ liệu nghiên cứu thị trường cho thấy nếu cứ giảm giá bán $30$ nghìn đồng/chiếc, số lượng áo bán ra sẽ tăng thêm $100$ chiếc mỗi tháng. Biết hàm giá bán $p(x)$ theo số lượng $x$ chiếc áo bán ra là một hàm số bậc nhất. Cửa hàng sản xuất áo với tổng chi phí hàng tháng là $C(x)=0,12x+50$ (triệu đồng), trong đó $0,12$ triệu đồng là chi phí nguyên vật liệu cho một chiếc áo và $50$ triệu đồng là chi phí mặt bằng, nhân sự. Cửa hàng nên bán mỗi chiếc áo với giá bao nhiêu nghìn đồng để thu được lợi nhuận cao nhất?

Mô hình EOQ (Economic Order Quantity) được công bố năm 1913 là một công cụ quản trị vận hành dùng để xác định lượng hàng nhập kho tối ưu. Giả sử một cửa hàng thức ăn cho mèo có nhu cầu tiêu thụ hàng hóa đều đặn với tốc độ bán hàng $d=100$ hộp/ngày. Các thông số chi phí được xác định như sau:
- $K=\mathrm{1.000.000}$ đồng: chi phí cố định cho mỗi lần đặt hàng (phí vận chuyển, nhân công...);
- $c$ đồng/hộp: giá nhập mỗi hộp hàng (giả định không đổi và không có chiết khấu);
- $h=500$ đồng/hộp/ngày: đơn giá lưu kho (chi phí lưu giữ một hộp hàng trong kho trong một ngày).
Gọi $Q$ (hộp) là số lượng hàng mà người bán nhập vào trong mỗi lần đặt hàng. Thời gian tiêu thụ hết lượng hàng là $\frac{Q}{d}$ (ngày). Tổng chi phí cho một chu kỳ đặt hàng và tiêu thụ hết hàng là $f=K+cQ+\frac{h{Q}^2}{2d}$.
Hỏi cửa hàng nên nhập bao nhiêu hộp trong mỗi lần đặt hàng để chi phí trung bình mỗi ngày là nhỏ nhất *(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)*?

Một công ty xây nhà xưởng dạng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là $1458{\text{ m}}^2$ và chiều cao cố định. Họ xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước bao nhiêu để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường)?

Một hợp tác xã (viết tắt là HTX) nông nghiệp tại Nghệ An đầu tư dự án trồng dưa lưới nhà màng VietGAP. Xét trong một vụ canh tác, với diện tích $x$ (nghìn ${\text{m}}^2$, $x\ge 1$), tổng chi phí là $C(x)=x^2+30x+100$ (triệu đồng). Tổng doanh thu dự kiến là $R(x)=x^2+100x$ (triệu đồng).