Bạn Trung có một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $15\text{ cm}$ và chiều rộng $10\text{ cm}$. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh $B$ của góc đó chạm lên cạnh $CD$. Biết nếp gấp $MN$ có độ dài nhỏ nhất bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast },b,c$ là các số nguyên tố. Tính tổng $a+b+c$.

Mô hình EOQ (Economic Order Quantity) được công bố năm 1913 là một công cụ quản trị vận hành dùng để xác định lượng hàng nhập kho tối ưu. Giả sử một cửa hàng thức ăn cho mèo có nhu cầu tiêu thụ hàng hóa đều đặn với tốc độ bán hàng $d=100$ hộp/ngày. Các thông số chi phí được xác định như sau:
- $K=\mathrm{1.000.000}$ đồng: chi phí cố định cho mỗi lần đặt hàng (phí vận chuyển, nhân công...);
- $c$ đồng/hộp: giá nhập mỗi hộp hàng (giả định không đổi và không có chiết khấu);
- $h=500$ đồng/hộp/ngày: đơn giá lưu kho (chi phí lưu giữ một hộp hàng trong kho trong một ngày).
Gọi $Q$ (hộp) là số lượng hàng mà người bán nhập vào trong mỗi lần đặt hàng. Thời gian tiêu thụ hết lượng hàng là $\frac{Q}{d}$ (ngày). Tổng chi phí cho một chu kỳ đặt hàng và tiêu thụ hết hàng là $f=K+cQ+\frac{h{Q}^2}{2d}$.
Hỏi cửa hàng nên nhập bao nhiêu hộp trong mỗi lần đặt hàng để chi phí trung bình mỗi ngày là nhỏ nhất *(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)*?

Một công ty xây nhà xưởng dạng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là $1458{\text{ m}}^2$ và chiều cao cố định. Họ xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước bao nhiêu để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường)?

Một hợp tác xã (viết tắt là HTX) nông nghiệp tại Nghệ An đầu tư dự án trồng dưa lưới nhà màng VietGAP. Xét trong một vụ canh tác, với diện tích $x$ (nghìn ${\text{m}}^2$, $x\ge 1$), tổng chi phí là $C(x)=x^2+30x+100$ (triệu đồng). Tổng doanh thu dự kiến là $R(x)=x^2+100x$ (triệu đồng).

Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường Việt Nam theo đơn giá $3$ triệu đồng/chiếc. Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số $C(x)=0,5x^3-75x^2+4350x+60000$ (nghìn đồng), trong đó $x$ là số lượng xe đạp sản xuất được trong ngày hôm đó. Mỗi ngày nhà máy có thể sản xuất tối đa $130$ xe đạp. Giả sử số xe đạp sản xuất được trong mỗi ngày đều được bán hết vào cuối ngày đó. Hỏi số lượng xe mỗi ngày cần sản xuất là bao nhiêu để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất?

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30$ nghìn đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30$ nghìn đồng mà cứ tăng giá thêm $1$ nghìn đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18$ nghìn đồng. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất (đơn vị tính là nghìn đồng).

Một cái ao hình $ABCDE$ (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính $10\text{ m}$. Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ $AB$ của ao đến mảnh vườn. Hai bờ $AE$ và $BC$ nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau tại $O$. Bờ $AB$ là một phần của parabol đỉnh $A$ có trục đối xứng trùng với đường thẳng chứa bờ $AE$. Khoảng cách từ bờ $AE$ và $BC$ đến tâm mảnh vườn lần lượt là $40\text{ m}$ và $30\text{ m}$. Khoảng cách $OA=40\text{ m}$, $OB=20\text{ m}$. Chiều dài ngắn nhất của cây cầu gần nhất với giá trị nào sau đây?