Một hình phẳng (H) có dạng như hình vẽ dưới đây, với kích thước: $BC=12\text{ cm},AB=10\text{ cm}$, đoạn thẳng $DC=10\text{ cm}$ là đường kính của nửa đường tròn có tâm cách đường thẳng chứa cạnh $BC$ một khoảng bằng $3\text{ cm}$. Cho hình phẳng (H) quay xung quanh trục $BC$ ta được một khối tròn xoay có thể tích là (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $[a;b]$. Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(D)$ quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào sau đây

Cho hình phẳng $H$ (phần gạch chéo trong hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $H$ quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào dưới đây?

Một chiếc đồng hồ cát nghệ thuật bằng thủy tinh có bầu chứa phía trên và bầu chứa phía dưới bằng nhau, bên trong chứa một chất lỏng đặc biệt. Khi bầu phía trên chứa đầy chất lỏng, thể tích chất lỏng bên trong đúng bằng thể tích của một khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=9$ (các đơn vị trên hệ trục tọa độ được tính bằng centimét, trục $Ox$ trùng với trục đối xứng dọc của đồng hồ). Phần cổ hẹp làm khuyết để thông nhau giữa bầu chứa phía trên và bầu chứa phía dưới coi như không đáng kể.

Ban đầu, phần bầu chứa phía trên chứa đầy chất lỏng. Khi bắt đầu tính giờ, chất lỏng chảy qua cổ hẹp xuống bầu chứa phía dưới với tốc độ (lưu lượng thể tích) không đổi trong suốt quá trình chảy. Người ta nhận thấy toàn bộ lượng chất lỏng chảy hết xuống bầu chứa phía dưới trong đúng $27$ phút. Giả sử trong suốt quá trình chảy, bề mặt trên của chất lỏng luôn tạo thành một mặt phẳng nằm ngang.
Gọi $h\text{ (cm)}$ là chiều cao của khối chất lỏng còn lại trong bầu chứa phía trên tại thời điểm $t$ (phút) ($0\le h\le 9$, tính từ cổ hẹp hướng lên trên dọc theo trục $Ox$). Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ lúc bắt đầu chảy, chiều cao khối chất lỏng trong bầu chứa phía trên (tính từ cổ hẹp hướng lên trên dọc theo trục $Ox$) còn đúng $3\text{ cm}$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Bút viết của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá là một khối tròn xoay có mặt cắt qua trục là một hình phẳng có hình dạng và các kích thước gắn với hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ dưới đây:

Biết biên của mặt cắt gồm hai nửa đường tròn đường kính $AB,CD$ và một cung của parabol đỉnh $O$, nhận $Ox$ là trục đối xứng; cho $AB=CD=3\text{ cm}$, $OI=1\text{ cm}$, $AD=3\text{ cm}$, $MN=2\text{ cm}$, đơn vị trên hệ trục là $1\text{ cm}$.

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y=3x-x^2$ và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho $(H)$ quay quanh trục hoành bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn điều kiện $(x+1)f^{\prime }(x)+xf(x)=-x^2,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=-2$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g(x)=\frac{1}{f(x)+1}$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=3$. Quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ ta được một khối tròn xoay có thể tích $V$ bằng