Một chiếc cổng hình Parabol có chiều cao $5m$, khoảng cách giữa hai chân cổng là $2\sqrt{5}m$. Để vận chuyển thùng hàng hình hộp chữ nhật qua cổng, người ta dùng một xe kéo có chiều cao $1m$. Biết rằng mặt cắt của thùng hàng qua cổng là hình chữ nhật, hỏi diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất là bao nhiêu $m^2$ để xe chở thùng hàng có thể đi qua được cổng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho điểm $A(3;2)$ trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua $A$ cắt trục hoành tại $B$ , cắt trục tung tại $C$ tạo thành một tam giác $OBC$ nằm trong góc phần tư thứ nhất, với $O$ là gốc tọa độ.

Biết hoành độ điểm $B$ là $x=t$ với $t>3$ . Hỏi $t$ bằng bao nhiêu thì diện tích tam giác $OBC$ là nhỏ nhất.

Một doanh nghiệp dự kiến lợi nhuận khi sản xuất $x$ sản phẩm $(0\le x\le 200)$ được cho bởi hàm số $y=-x^3+150x^2$ (đơn vị: đồng). Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để đạt được lợi nhuận cao nhất?

Một đường dây điện được nối từ nhà máy thuỷ điện Hoà Bình trên đất liền ở vị trí $H$ đến đảo Đứa ở vị trí $D$ theo đường gấp khúc $HSD$ ( $S$ là một vị trí trên đất liền) như hình vẽ. Biết khoảng cách từ đảo Đứa vào đất liền là $DA=15km$ và khoảng cách $AH=40km$ . Để lắp đặt đường dây điện đặt dưới nước có chi phí $6000USD/1km$ , dây điện đặt trên đất liền có chi phí $3000USD/1km$ . Hỏi điểm $S$ cách $A$ bao nhiêu $km$ để khi mắc dây điện từ $H$ qua $S$ rồi đến $D$ là ít tốn kém nhất . (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Ông An dự định sử dụng hết $5m^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu $m^3$? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Anh Nghĩa có một mảnh đất dạng hình thang cong $OABC$ (B là điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=f(x)$) được mô hình hóa trong mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị mỗi trục là $10m$). Anh Nghĩa chia mảnh đất hình thang cong $OABC$ thành 2 phần để làm hồ bơi và làm vườn trồng cỏ được ngăn cách bởi một phần của đồ thị hàm bậc ba $y=f(x)$ như hình vẽ bên. Biết đơn giá làm hồ bơi là 400.000 đồng/m${}^2$, đơn giá trồng cỏ là 200.000 đồng/m${}^2$. Tổng chi phí anh Nghĩa phải trả là 295 triệu đồng. Bên cạnh đó có một con đường nhựa được mô hình hóa bằng hàm $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$ $(x>2)$. Anh Nghĩa muốn làm một đoạn đường $MN$ đi từ Vườn anh Nghĩa đến con đường nhựa đó. Hãy tính độ dài ngắn nhất của đoạn đường $MN$ mà anh Nghĩa muốn làm?(Đơn vị mét: làm tròn đến hàng phần trăm)

Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật $MNPQ$ có chiều dài $MQ=12m,MN=8m$. Để cung cấp điện cho hệ thống đèn LED, anh Nghĩa đi dây điện theo trình tự: $A\to B\to C\to O\to D\to E\to F\to H$ (như hình vẽ bên). Trong đó:
- Điểm $A$ nằm trên cột cổng cao $3m$, vị trí chân cột cách cây Nêu $3m$ và chân cột nằm trên đoạn $MQ$.
- Đoạn $BC$ nằm trên bức tường hình chữ nhật $PQIJ$ có $PJ=4m$ (bức tường vuông góc với mặt đất), độ dài $BC=3m$ và $BC\parallel IJ$.
- Điểm $O$ nằm trên mái che hình chữ nhật $IJUV$ có $JU=10m$ (mái che song song với mặt đất).
- Cột đèn đặt tại góc $N$ và điểm $D$ nằm trên cột đèn cao $3m$.
- Điểm $E,F$ nằm trên thân cây Nêu sao cho $EF=2m$. Cây Nêu $MG$ vuông góc với đất tại $M$, chiều cao $MG=10m$.
- Điểm $H$ cách đỉnh $G$ một khoảng $HG=0.5m$ ($HG$ song song với mặt đất).

Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất mà anh Nghĩa cần sử dụng để hoàn thành hệ thống đèn trang trí này. (Đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)