Một đường dây điện được nối từ nhà máy thuỷ điện Hoà Bình trên đất liền ở vị trí $H$ đến đảo Đứa ở vị trí $D$ theo đường gấp khúc $HSD$ ( $S$ là một vị trí trên đất liền) như hình vẽ. Biết khoảng cách từ đảo Đứa vào đất liền là $DA=15km$ và khoảng cách $AH=40km$ . Để lắp đặt đường dây điện đặt dưới nước có chi phí $6000USD/1km$ , dây điện đặt trên đất liền có chi phí $3000USD/1km$ . Hỏi điểm $S$ cách $A$ bao nhiêu $km$ để khi mắc dây điện từ $H$ qua $S$ rồi đến $D$ là ít tốn kém nhất . (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Anh Nghĩa có một mảnh đất dạng hình thang cong $OABC$ (B là điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=f(x)$) được mô hình hóa trong mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị mỗi trục là $10m$). Anh Nghĩa chia mảnh đất hình thang cong $OABC$ thành 2 phần để làm hồ bơi và làm vườn trồng cỏ được ngăn cách bởi một phần của đồ thị hàm bậc ba $y=f(x)$ như hình vẽ bên. Biết đơn giá làm hồ bơi là 400.000 đồng/m${}^2$, đơn giá trồng cỏ là 200.000 đồng/m${}^2$. Tổng chi phí anh Nghĩa phải trả là 295 triệu đồng. Bên cạnh đó có một con đường nhựa được mô hình hóa bằng hàm $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$ $(x>2)$. Anh Nghĩa muốn làm một đoạn đường $MN$ đi từ Vườn anh Nghĩa đến con đường nhựa đó. Hãy tính độ dài ngắn nhất của đoạn đường $MN$ mà anh Nghĩa muốn làm?(Đơn vị mét: làm tròn đến hàng phần trăm)

Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật $MNPQ$ có chiều dài $MQ=12m,MN=8m$. Để cung cấp điện cho hệ thống đèn LED, anh Nghĩa đi dây điện theo trình tự: $A\to B\to C\to O\to D\to E\to F\to H$ (như hình vẽ bên). Trong đó:
- Điểm $A$ nằm trên cột cổng cao $3m$, vị trí chân cột cách cây Nêu $3m$ và chân cột nằm trên đoạn $MQ$.
- Đoạn $BC$ nằm trên bức tường hình chữ nhật $PQIJ$ có $PJ=4m$ (bức tường vuông góc với mặt đất), độ dài $BC=3m$ và $BC\parallel IJ$.
- Điểm $O$ nằm trên mái che hình chữ nhật $IJUV$ có $JU=10m$ (mái che song song với mặt đất).
- Cột đèn đặt tại góc $N$ và điểm $D$ nằm trên cột đèn cao $3m$.
- Điểm $E,F$ nằm trên thân cây Nêu sao cho $EF=2m$. Cây Nêu $MG$ vuông góc với đất tại $M$, chiều cao $MG=10m$.
- Điểm $H$ cách đỉnh $G$ một khoảng $HG=0.5m$ ($HG$ song song với mặt đất).

Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất mà anh Nghĩa cần sử dụng để hoàn thành hệ thống đèn trang trí này. (Đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Anh Nghĩa có một mảnh đất dạng hình thang cong $OABC$ (B là điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=f(x)$) được mô hình hóa trong mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị mỗi trục là $10m$). Anh Nghĩa chia mảnh đất hình thang cong $OABC$ thành 2 phần để làm hồ bơi và làm vườn trồng cỏ được ngăn cách bởi một phần của đồ thị hàm bậc ba $y=f(x)$ như hình vẽ bên. Biết đơn giá làm hồ bơi là 400.000 đồng/ $m^2$, đơn giá trồng cỏ là 200.000 đồng/ $m^2$. Tổng chi phí anh Nghĩa phải trả là 295 triệu đồng. Bên cạnh đó có một con đường nhựa được mô hình hóa bằng hàm $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$ $(x>2)$. Anh Nghĩa muốn làm một đoạn đường $MN$ đi từ Vườn anh Nghĩa đến con đường nhựa đó. Hãy tính độ dài ngắn nhất của đoạn đường $MN$ mà anh Nghĩa muốn làm? (Đơn vị mét: làm tròn đến hàng phần trăm)

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:
$$C(x)=x^3-3x^2-20x+500.$$
Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hỏi lợi nhuận tối đa (đơn vị nghìn đồng) của hộ làm nghề dệt vải lụa tằm trong một ngày?

Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 60cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng $x$ (cm) (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gấp tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm $x$ để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho một tấm nhôm hình chữ nhật $ABCD$ có $AD$ dài 60 cm. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh $MN$ và $PQ$ vào phía trong đến khi $AB$ và $DC$ trùng nhau (như hình vẽ dưới đây) để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm $x$ để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.