Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }\left(x\right)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Từ đồ thị của f'(x): f' cắt trục hoành tại x = -3 và x = 1, đạt cực đại tại x = -2 (giá trị dương) và cực tiểu tại x = 0 (giá trị -4). Suy ra f'(x) < 0 trên (-∞; -3) ∪ (-2; 1), f'(x) > 0 trên (-3; -2) ∪ (1; +∞).
a) Trên (-∞; -2), f' đổi dấu tại x = -3 nên f không đồng biến trên toàn khoảng này → sai.
b) f' đổi dấu từ + thành - qua x = -2 (cực đại của f) và từ - thành + qua x = 1 (cực tiểu của f) → f có đúng 2 điểm cực trị → đúng.
c) Trên [-3; 1], f đồng biến trên [-3; -2] và nghịch biến trên [-2; 1] nên GTLN của f bằng f(-2) → đúng.
d) Viết f'(x) = a(x + 3)(x + 2)(x - 1) thì g(x) = 1/[a(x + 3)(x - 1)]: có 2 tiệm cận đứng x = -3, x = 1 và 1 tiệm cận ngang y = 0, tổng 3 đường tiệm cận → sai.
a) Từ đồ thị, f'(x) cắt trục hoành tại x = -3, f'(x) < 0 trên (-∞; -3) và f'(x) > 0 trên (-3; -2). Do đó f nghịch biến trên (-∞; -3) và đồng biến trên (-3; -2), nên f không đồng biến trên khoảng (-∞; -2). Khẳng định sai.
b) Từ đồ thị: f'(x) đổi dấu từ + thành - qua x = -2 (f' đạt cực đại tại x = -2 với giá trị dương) nên x = -2 là điểm cực đại của f; f'(x) đổi dấu từ - thành + qua x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của f. Vậy f có đúng hai điểm cực trị. Khẳng định đúng.
c) Trên đoạn [-3; 1]: f'(x) > 0 trên (-3; -2) nên f đồng biến trên [-3; -2]; f'(x) < 0 trên (-2; 1) nên f nghịch biến trên [-2; 1]. Do đó f đạt giá trị lớn nhất tại x = -2, tức GTLN bằng f(-2). Khẳng định đúng.
d) Từ đồ thị, f'(x) là hàm bậc ba có ba nghiệm đơn x = -3, x = -2, x = 1, nên viết f'(x) = a(x + 3)(x + 2)(x - 1) với a ≠ 0. Khi đó g(x) = (x + 2)/[a(x + 3)(x + 2)(x - 1)] = 1/[a(x + 3)(x - 1)]. Đồ thị g có hai tiệm cận đứng x = -3, x = 1 và một tiệm cận ngang y = 0, tức tất cả 3 đường tiệm cận. Khẳng định sai.