Mệnh đề nào sau đây SAI?

Xét một bảng ô vuông 4x4 như hình vẽ. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó hai số 1 hoặc -1. Sao cho tổng các số trong mỗi hàng hoặc mỗi cột đều bằng không. Hỏi có bao nhiêu cách?

Cho số nguyên dương $k>1$. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi ${\sigma }_k(n)$ là tổng lũy thừa bậc $k$ của các ước nguyên dương của $n$. Gọi $n$ là một số TỐT nếu $n\mid {\sigma }_k(n)$.

a) Chứng minh rằng ${\sigma }_k(n)$ là hàm nhân tính và tồn tại một dãy vô hạn các số TỐT $n_1<n_2<n_3<\cdots$ sao cho $n_i\mid n_{i+1}$ với mọi $i⩾1$.

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $r$, tồn tại một số TỐT có ít nhất $r$ ước nguyên tố phân biệt.

Cho hai số nguyên $n,k$ thỏa mãn $2⩽k<n$. Trong một lễ hội, có $n$ ngọn đèn được đặt trên một vòng tròn và đánh số $1,2,\dots ,n$ theo chiều kim đồng hồ. Mỗi ngọn đèn ở một trong hai trạng thái: sáng hoặc tắt.

Trong mỗi lượt ghi, trạng thái của các ngọn đèn được giữ cố định. Một người đi quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ. Khi đứng tại ngọn đèn thứ $i$, người đó ghi lại số ngọn đèn đang sáng trong $k$ ngọn đèn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ ngọn đèn thứ $i$; sau ngọn đèn thứ $n$ lại đến ngọn đèn thứ 1. Gọi số ghi được tại ngọn đèn thứ $i$ là $s_i$. Sau một vòng, người đó thu được bản ghi $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$.

a) Xác định điều kiện của $n,k$ để với mọi cách bố trí trạng thái của các ngọn đèn, bản ghi $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ xác định duy nhất cách bố trí đó.

b) Trong suốt lễ hội, trạng thái của các ngọn đèn có thể được thay đổi tùy ý giữa các lượt ghi. Xác định số bản ghi $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ phân biệt có thể thu được.

Một giỏ có 4 bông hoa vàng, 2 bông hoa xanh và 5 bông hoa trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 bông hoa trong giỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 3 bông hoa khác màu từ giỏ?

Xét phương trình
$$\phi \left(\phi (n)+k\right)=n-k\text{ với }n,k\text{ nguyeˆn dương.}$$
a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương $k$ cố định, chỉ có hữu hạn số $n$ là hợp số thỏa mãn phương trình.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình có vô số nghiệm nguyên dương $n$.
(Với $m$ nguyên dương, ký hiệu $\phi (m)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$)

Gọi $A$ là tập hợp gồm 2026 số nguyên dương đầu tiên. Nếu hoán vị $(a_1,a_2,\dots ,a_{2026})$ của các phần tử thuộc $A$ thỏa mãn $a_i>a_{i+1}$ với $i\in \{1;2;\dots ;2025\}$ thì $a_i$ được gọi là điểm giảm của hoán vị đó.

a) Có bao nhiêu hoán vị $(a_1,a_2,\dots ,a_{2026})$ của các phần tử thuộc $A$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) $(a_1,a_2,\dots ,a_{2026})$ có duy nhất một điểm giảm là $a_i=2026$;
(ii) Điểm giảm $a_i$ chia hoán vị thành hai phần $a_1,a_2,\dots ,a_{i-1}$ và $a_{i+1},a_{i+2},\dots ,a_{2026}$, trong đó tập hợp $X=\{a_{i+1};\dots ;a_{2026}\}$ chứa ít nhất một số chẵn và ít nhất một số lẻ?

b) Có bao nhiêu hoán vị $(a_1,a_2,\dots ,a_{2026})$ của các phần tử thuộc $A$ có duy nhất một điểm giảm?