Hai vận động viên $A$ và $B$ tham dự một cuộc thi chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc lần lượt là $v_A$ và $v_B$. Trong khoảng thời gian $32$ giây chạy đầu tiên ta có $v_A=\frac{1}{450}{t}^3-\frac{47}{450}{t}^2+\frac{64}{45}t(\text{m/s})$; $v_B=a{t}^2+bt(\text{m/s})$ (với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng giây). Hàm số $y=a{t}^2+bt$ có đồ thị là một phần của parabol như hình vẽ bên.

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn $200\text{ m}$, tốc độ của ô tô là $36\text{ km/h}$. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t)=at+b$ ($a,b\in \mathbb{R},a>0$), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, sau 24 giây đó ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong 24 giây đầu trong thời gian còn lại trên cao tốc.

Một vật chuyển động với vận tốc $10\text{ m/s}$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=2t+t^2$. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng $\frac{a}{b}$. Tính $a+b$.

Một vật chuyển động với vận tốc $10\text{ m/s}$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=3t+t^2$. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng $\frac{a}{b}$. Tính $a+b$.

Câu 3: Một hạt proton chuyển động trong điện trường từ điểm $A(2;1;5)$ (đơn vị mm) theo một đường thẳng hướng lên trên. Hướng chuyển động của hạt tạo với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc $30^{\circ }$. Biết hình chiếu vuông góc của hướng chuyển động lên mặt phẳng $(Oxy)$ hợp với trục $Ox$ một góc $45^{\circ }$. Vận tốc của hạt tại thời điểm $t$ (giây) là $v(t)=k{e}^{0.5t}$ (mm/s) với $k$ là hằng số dương. Biết rằng trong $2\ln 2$ giây đầu tiên, hạt đi được quãng đường là $20\text{ mm}$. Gọi $B(x_B;y_B;z_B)$ là vị trí của hạt tại thời điểm $t=2$ (giây).

Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc $v_T(t)=5\sqrt{t}\text{ (km/h)}$, quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình $s_M(t)=5t-\frac{5}{2\pi }\sin (2\pi t)\text{ (km)}$ (với $t$ là thời gian tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được $10\text{ km}$ đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=180-20t$ (m/s). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm $t=0$ (s) đến thời điểm mà vật dừng lại.