Để đo đường kính một hồ nước hình tròn tâm $O$, người ta lấy ba điểm $A,B,C$ trên bờ hồ như hình vẽ, sao cho $AB=6$ m; $AC=10$ m; $\widehat{BAC}=120°$. a) Tính khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$. b) Tính bán kính $R$ và đường kính $d$ của hồ nước đó (làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=30^{\circ }$; $AB=5$; $BC=8$. Tính $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một con tàu biển $M$ rời cảng $O$ và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc $60^{\circ }$. Trên bờ biển có hai đài quan sát $A$ và $B$ nằm về hai phía của cảng $O$ và lần lượt cách cảng $O$ khoảng cách là $4km$ và $5km$. Biết khoảng cách từ con tàu đến hai đài quan sát $A$ và $B$ là bằng nhau. Khoảng cách từ con tàu $M$ đến cảng $O$ là bao nhiêu $km$.

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=30^{\circ };AB=5;BC=8$. Tính $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một tàu du lịch xuất phát từ cảng biển tại vị trí điểm $A$ và đi thẳng theo hướng $S75^{\circ }E$ với vận tốc trung bình 50 hải lí/giờ. Sau hai giờ kể từ khi bắt đầu khởi hành, tàu du lịch bị hỏng động cơ nên trôi thẳng theo hướng Tây Nam ($S45^{\circ }W$) với vận tốc 10 hải lí/giờ. Ngay tại thời điểm hỏng động cơ, tàu du lịch đã gửi tín hiệu cứu hộ về cảng biển $A$ và sau đó đúng 30 phút, một tàu cứu hộ xuất phát tại cảng biển $A$ với vận tốc trung bình 74 hải lí/giờ để tiếp cận tàu du lịch. Tàu cứu hộ cần đi theo hướng nào để tiếp cận tàu du lịch nhanh nhất?

Cho tam giác $ABC$ biết $AB=8,AC=5,BC=7$. Điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AM=5$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=5,BC=4,AC=7$. Khi đó $\cos B=-\frac{m}{n}$, với $m,n\in \mathbb{N}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính $m-n$.