Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=30^{\circ };AB=5;BC=8$. Tính $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một tàu du lịch xuất phát từ cảng biển tại vị trí điểm $A$ và đi thẳng theo hướng $S75^{\circ }E$ với vận tốc trung bình 50 hải lí/giờ. Sau hai giờ kể từ khi bắt đầu khởi hành, tàu du lịch bị hỏng động cơ nên trôi thẳng theo hướng Tây Nam ($S45^{\circ }W$) với vận tốc 10 hải lí/giờ. Ngay tại thời điểm hỏng động cơ, tàu du lịch đã gửi tín hiệu cứu hộ về cảng biển $A$ và sau đó đúng 30 phút, một tàu cứu hộ xuất phát tại cảng biển $A$ với vận tốc trung bình 74 hải lí/giờ để tiếp cận tàu du lịch. Tàu cứu hộ cần đi theo hướng nào để tiếp cận tàu du lịch nhanh nhất?

Cho tam giác $ABC$ biết $AB=8,AC=5,BC=7$. Điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AM=5$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=5,BC=4,AC=7$. Khi đó $\cos B=-\frac{m}{n}$, với $m,n\in \mathbb{N}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính $m-n$.

Cho tam giác $ABC$ biết $a=3cm,c=4cm,\hat{B}=30^{\circ }$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho tam giác $ABC$ có $AB=8,AC=5$ và góc $BAC=120^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(0,5 điểm) Để tránh vùng bị ảnh hưởng bởi lũ lụt, người dân muốn di chuyển từ xã $B$ tới xã $C$ phải đi qua xã $A$, dọc theo đường gấp khúc $BAC$. Biết $AB=16km,AC=12km$ và góc $BAC=60^{\circ }$. Lực lượng chức năng phát hiện trên đoạn thẳng $BC$, tại vị trí điểm $M$ thỏa mãn $MC=3MB$ có tín hiệu pháo sáng được bắn lên. Trực thăng được điều động để di chuyển thẳng từ $A$ tới $M$. Tính độ dài đoạn thẳng $AM$ (đơn vị km).