Để đo chiều cao của một cột cờ, người ta chọn hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất thẳng hàng với chân $C$ của cột cờ ($B$ nằm giữa $A$ và $C$). Đo được $AB=10m$, góc nhìn từ $A$ và $B$ đến đỉnh $D$ của cột cờ lần lượt là $\widehat{DAC}=30^{\circ }$ và $\widehat{DBC}=45^{\circ }$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$, tam giác $DBC$ vuông tại $C$ có $\widehat{DBC}=45^{\circ }$ nên $\widehat{BDC}=45^{\circ }$, do đó $\widehat{ADB}=45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$ (a đúng). Theo định lý sin trong tam giác $ABD$: $\frac{AD}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 15^{\circ }}$, với $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ nên $AD=10\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=10(\sqrt{3}+1)$ m (b đúng). Trong tam giác vuông $ACD$, $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$ chứ không phải $AD\cdot \cos 30^{\circ }$ (c sai). Chiều cao cột cờ $CD=10(\sqrt{3}+1)\cdot \frac{1}{2}=5(\sqrt{3}+1)\approx 13,66\approx 14$ m (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ADB}=\widehat{DBC}-\widehat{DAC}=45^{\circ }-30^{\circ }=15^{\circ }$ (góc ngoài tam giác $ABD$ tại $B$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $AD=\frac{AB\sin 45^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=10(\sqrt{3}+1)$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ với góc $\widehat{DAC}=30^{\circ }$ nên $CD=AD\cdot \sin 30^{\circ }$, không phải $AD\cdot \cos 30^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$CD=10(\sqrt{3}+1)\cdot \sin 30^{\circ }=5(\sqrt{3}+1)\approx 13,66\approx 14$ m.