Để đo chiều cao của một cột ăng-ten, người ta chọn hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất thẳng hàng với chân $C$ của cột ăng-ten ($B$ nằm giữa $A$ và $C$). Đo được $AB=40\text{m}$, góc nhìn từ $A$ và $B$ đến đỉnh $D$ của cột ăng-ten lần lượt là $\widehat{DAC}=30^{\circ }$ và $\widehat{DBC}=60^{\circ }$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Để đo chiều cao của một tòa tháp văn phòng, người ta chọn hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất thẳng hàng với chân $C$ của tòa tháp văn phòng ($B$ nằm giữa $A$ và $C$). Đo được $AB=80$m, góc nhìn từ $A$ và $B$ đến đỉnh $D$ của tòa tháp văn phòng lần lượt là $\widehat{DAC}=30^{\circ }$ và $\widehat{DBC}=60^{\circ }$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

(1 điểm) Để tránh một cái hồ lớn, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong hình vẽ.



a) Nếu bắc một chiếc cầu dàn sinh thẳng từ $B$ đến $D$ thì độ dài chiếc cầu bằng bao nhiêu kilomet?
b) Nếu bắc một chiếc cầu lớn thẳng từ $B$ đến $E$ thì độ dài cầu ngắn hơn đường cũ bao nhiêu kilomet?

Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng $m=4\text{kg}$ được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60^{\circ }$. Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ (N). Biết trọng lượng của vật nặng được tính theo công thức $P=mg$, lấy $g=10{\text{m/s}}^2$.



Khi đó giá trị của $a$ bằng:

(1,0 điểm) Trên sườn đồi nghiêng một góc $\alpha =\widehat{OAB}=26^0$ so với phương nằm ngang, có một cây cổ thụ mọc thẳng đứng (hình minh họa bên dưới). Từ điểm $A$ dưới chân đồi, cách gốc cây một đoạn $AB=30m$, người ta nhìn đỉnh ngọn cây $C$ dưới một góc $\beta =\widehat{OAC}=50^0$ so với phương nằm ngang. Tính chiều cao $BC$ của cây cổ thụ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính bằng mét).

Hai tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$ lúc 8h, tàu thứ nhất đi theo hướng $S70^{\circ }E$ với vận tốc $50km/h$. Tàu thứ 2 đi theo hướng $N40^{\circ }E$ với vận tốc $55km/h$. Đi được 75 phút thì động cơ của tàu thứ nhất bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc $7km/h$. Sau 1 giờ 30 phút kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu đó neo đậu được vào một hòn đảo C (như hình vẽ).



Gọi B là nơi tàu thứ nhất bị hỏng, D là vị trí của tàu thứ 2 tại thời điểm tàu thứ nhất bị hỏng.

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao $5m$. Từ vị trí quan sát $A$ cao $7m$ so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten dưới góc $50^{\circ }$ và $40^{\circ }$ so với phương nằm ngang. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).