Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng $m=4\text{kg}$ được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60^{\circ }$. Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ (N). Biết trọng lượng của vật nặng được tính theo công thức $P=mg$, lấy $g=10{\text{m/s}}^2$.



Khi đó giá trị của $a$ bằng:

(1,0 điểm) Trên sườn đồi nghiêng một góc $\alpha =\widehat{OAB}=26^0$ so với phương nằm ngang, có một cây cổ thụ mọc thẳng đứng (hình minh họa bên dưới). Từ điểm $A$ dưới chân đồi, cách gốc cây một đoạn $AB=30m$, người ta nhìn đỉnh ngọn cây $C$ dưới một góc $\beta =\widehat{OAC}=50^0$ so với phương nằm ngang. Tính chiều cao $BC$ của cây cổ thụ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính bằng mét).

Hai tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$ lúc 8h, tàu thứ nhất đi theo hướng $S70^{\circ }E$ với vận tốc $50km/h$. Tàu thứ 2 đi theo hướng $N40^{\circ }E$ với vận tốc $55km/h$. Đi được 75 phút thì động cơ của tàu thứ nhất bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc $7km/h$. Sau 1 giờ 30 phút kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu đó neo đậu được vào một hòn đảo C (như hình vẽ).



Gọi B là nơi tàu thứ nhất bị hỏng, D là vị trí của tàu thứ 2 tại thời điểm tàu thứ nhất bị hỏng.

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao $5m$. Từ vị trí quan sát $A$ cao $7m$ so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten dưới góc $50^{\circ }$ và $40^{\circ }$ so với phương nằm ngang. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm. Thiết bị này có góc chiếu sáng là $30^0$ và cần đặt cao hơn mặt đất là $3,5m$. Người ta đặt thiết bị này sát tường và canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường $3$m (tham khảo hình vẽ).



Độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Từ vị trí $A$ có độ cao $4m$ so với mặt đất, người ta quan sát một cây cao (tham khảo hình bên dưới). Biết rằng độ dài $AH=4m$; $HB=20m$ và $\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn $A$ tới chiếc diều và phương nằm ngang) là $\alpha =35^{\circ }$; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn $A$ là $1,5$ m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là $\beta =75^{\circ }$; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn $B$ cũng là $1,5$ m. Biết chiều cao của tòa nhà là $h=20$ m (Hình). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?