Chọn ngẫu nhiên 4 số $a,b,c,d$ thuộc tập hợp $S=\{1,2,...,2025\}$. Tính xác suất để 4 số chọn ra thoả mãn $a^2+b^2+c^2+d^2$ chia hết cho 5. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
2025 = 5·405 nên mỗi dư modulo 5 xuất hiện 405 lần. Số dư của $x^2\mathrm{mod}5$: dư 0 có 405 số, dư 1 có 810 số, dư 4 có 810 số. Dùng tổng Fourier với nghiệm thứ 5 $$\begin{gathered} { \\ }_{o}mega \end{gathered}$$: đặt $$\begin{gathered} A(r)=405(1+2 \\ omeg{a}^r+2 \\ omeg{a}^{4r}) \end{gathered}$$. Ta có $$\begin{gathered} 1+2 \\ omega+2 \\ omeg{a}^4=1+4 \\ cos(2 \\ pi/5)= \\ sqrt5 \end{gathered}$$ và $$\begin{gathered} 1+2 \\ omeg{a}^2+2 \\ omeg{a}^3=1+4 \\ cos(4 \\ pi/5)=- \\ sqrt5 \end{gathered}$$. Số bộ có thứ tự $(a,b,c,d)$ với tổng bình phương chia hết cho 5: $$\begin{gathered} N= \\ frac15 \\ su{m}_{r=0}^{4}A(r{)}^4= \\ frac15 \\ big[(2025{)}^4+4 \\ cdot(405 \\ sqrt5{)}^4 \\ big]= \\ frac15 \\ cdot405^4(625+100)=145 \\ cdot405^4 \end{gathered}$$. Xác suất $$\begin{gathered} = \\ dfrac145 \\ cdot405^{4}2025^4= \\ dfrac145625= \\ dfrac29125=0,232 \end{gathered}$$. Làm tròn đến hàng phần trăm: $23$.