Chọn ngẫu nhiên 4 số $a,b,c,d$ thuộc tập hợp $S=\{1,2,...,2025\}$. Tính xác suất để 4 số chọn ra thoả mãn $a^2+b^2+c^2+d^2$ chia hết cho 5. *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phần dư bình phương mod 5. Trong $S=\{1,...,2025\}$, $2025=5\cdot 405$ nên mỗi lớp thặng $0,\pm 1,\pm 2$ mod 5 có 405 số. Do đó số có $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}5)$: 405 số; $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ (từ $n\equiv \pm 1$): 810 số; $n^2\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ (từ $n\equiv \pm 2$): 810 số. Chọn 4 số phân biệt, tổng số cách $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2025}{4}\right)=698556162150$. Các tổ hợp loại thặng cho tổng bình phương $\equiv 0(\mathrm{mod}5)$: (i) 4 số đều $\equiv 0$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{405}{4}\right)=1104475905$; (ii) hai số $\equiv 0$, một số $\equiv 1$, một số $\equiv 4$ (vì $1+4\equiv 0$): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{405}{2}\right)\cdot 810\cdot 810=53675541000$; (iii) hai số $\equiv 1$, hai số $\equiv 4$ (vì $2+8\equiv 0$): ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{810}{2}\right)}^2=107351246025$. Các trường hợp khác đều cho tổng không chia hết cho 5. Tổng cách thuận $=162131262930$. Xác suất $P=\frac{162131262930}{698556162150}\approx 0,2321\approx 0,23$, khớp đáp án nguồn.