Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+2}(4x+6y-7)\ge 1$. Gọi $M=x^2+y^2-20x+8y$. Hỏi $M$ có thể nhận tối đa bao nhiêu giá trị nguyên?

Chọn C.
Bất phương trình tương đương $4x+6y-7\ge x^2+y^2+2\iff (x-2{)}^2+(y-3{)}^2\le 4$.
Tập hợp các điểm $(x;y)$ là hình tròn tâm $I(2;3)$ bán kính $R=2$.
Biểu thức $M=(x-10{)}^2+(y+4{)}^2-116=d^2-116$, với $d$ là khoảng cách từ điểm $K(10;-4)$ đến điểm $(x;y)$ thuộc hình tròn.
Khoảng cách $IK=\sqrt{(10-2{)}^2+(-4-3{)}^2}=\sqrt{64+49}=\sqrt{113}$.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $d$ là $d_{\max }=\sqrt{113}+2,d_{\min }=\sqrt{113}-2$.
Tính khoảng giá trị của $M$:
$M_{\min }=(\sqrt{113}-2{)}^2-116=113-4\sqrt{113}+4-116=1-4\sqrt{113}\approx -41,52$.
$M_{\max }=(\sqrt{113}+2{)}^2-116=113+4\sqrt{113}+4-116=1+4\sqrt{113}\approx 43,52$.
Các giá trị nguyên của $M$ thuộc $[-41;43]$. Số giá trị nguyên là $43-(-41)+1=85$.