Cho tam giác $ABC$ có $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $F$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $AF=2FC$, $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$.
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
b) Gọi $P$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{PC}=-3\overrightarrow{PB}$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{KP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
c) Với điểm $M$ bất kì, dựng điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi.
d) Tìm tập hợp điểm $J$ sao cho $\left|\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}\right|=\left|\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}\right|$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9 (giải đầy đủ):

a) Vì $E$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Vì $F\in AC$ với $AF=2FC$ nên $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vì $K$ là trung điểm $EF$:
$$\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$ (đpcm)

b) Từ $\overrightarrow{PC}=-3\overrightarrow{PB}$, với gốc $A$: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}=-3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})\Rightarrow 4\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. Suy ra
$$\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\overrightarrow{AB}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{12}\overrightarrow{AC}.$$

c) Đặt $D=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ và dựng điểm cố định $G$ thỏa $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ (không phụ thuộc $M$). Với mọi điểm $M$, đặt gốc tại $A$:
$$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2(\vec{A}-\vec{M})-2(\vec{B}-\vec{M})-(\vec{C}-\vec{M})=\vec{M}+2\vec{A}-2\vec{B}-\vec{C}.$$
Khi đó
$$\overrightarrow{GM}=\vec{M}-\vec{G}=\vec{M}-(2\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A})=\vec{M}+2\vec{A}-2\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{MN}.$$
Vậy $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{MN}$, tức $M$ là trung điểm của $GN$; do đó ba điểm $G,M,N$ thẳng hàng, nghĩa là đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định $G$ (với $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$) khi $M$ thay đổi.

d) Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $J_1$ (đặt $L$) là trung điểm $AC$. Ta có $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}=2\overrightarrow{JI}$ và $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}=2\overrightarrow{JL}$. Điều kiện trở thành
$$|\overrightarrow{JI}|=|\overrightarrow{JL}|⟺JI=JL.$$
Vậy tập hợp điểm $J$ là đường trung trực của đoạn $IL$ (với $I$ trung điểm $AB$, $L$ trung điểm $AC$; chú ý $IL\parallel BC$ và $IL=\frac{1}{2}BC$).