Cho phương trình ${\log }_3(3x^2-6x+6)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1$. Hỏi có bao nhiêu cặp số $(x;y)$ và $0<x<2020;y\in \mathbb{N}$ thỏa mãn phương trình đã cho?

${\log }_3(3x^2-6x+6)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1\iff {\log }_{3}3(x^2-2x+2)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1$

$\iff 1+{\log }_3(x^2-2x+2)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1$

$\iff {\log }_3(x^2-2x+2)+(x^2-2x+2)=3^{y^2}+y^2(1).$

Đặt ${\log }_3(x^2-2x+2)=z\Rightarrow x^2-2x+2=3^z$ thì $(1)$ trở thành:

$\iff 3^z+z=3^{y^2}+y^2(2).$

Xét hàm số $f(t)=3^t+t\Rightarrow f^{\prime }(t)=3^t\ln 3+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$.

Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

$(2)\iff f(z)=f(y^2)\iff z=y^2.$

Thay trở lại cách đặt ta có: ${\log }_3(x^2-2x+2)=y^2\iff x^2-2x+2=3^{y^2}$.

Xét hàm số: $g(x)=x^2-2x+2,x\in (0;2020)\Rightarrow g^{\prime }(x)=2x-2$.

$g^{\prime }(x)=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên:

[IMAGE_1]

Suy ra:

$\iff 1\le g(x)<4076362\iff 1\le 3^{y^2}<4076362\iff 0\le y^2<{\log }_{3}4076362.$

Do $y\in \mathbb{N}\Rightarrow 0\le y<\sqrt{{\log }_{3}4076362}\approx 3,7\Rightarrow y\in \{0;1;2;3\}$.

$\Rightarrow [<table><tbody><tr><td>g(x)=1</td></tr><tr><td>g(x)=3</td></tr><tr><td>g(x)=3^4</td></tr><tr><td>g(x)=3^9</td></tr></tbody></table>.$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ ta thấy mỗi phương trình trên có một nghiệm $0<x<2020$.

Vậy có $4$ cặp số $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.