Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $A{A}^{\prime }=2AB=6$, $A^{\prime }AB=A^{\prime }AC=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$ và $N$ là trọng tâm tam giác $BC{C}^{\prime }$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng

Trong cảnh dụng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều $SABCD$ có chiều cao 2 mét. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị đo trên các trục bằng mét) với các điểm ở đáy là $A(6;4;2)$, $B(6;6;2)$, $C(4;6;2)$ và $D(4;4;2)$, trong đó S là đỉnh của mái nhà

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a+b$.

Câu 22: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 2, cạnh bên $SA=2\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. (Tham khảo hình vẽ dưới đây)

Bán kính Trái Đất lấy bằng 6400km, khi gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thì bề mặt Trái Đất là mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=64$, đường xích đạo nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Một tàu vũ trụ X rời khỏi bề mặt Trái Đất theo phương tiếp tuyến với đường tròn vĩ tuyến tại điểm $A\left(5;\sqrt{23};4\right)$, với giả thiết rằng sau khi rời khỏi bề mặt Trái Đất tàu vũ trụ X bay theo quỹ đạo thẳng với tốc độ không đổi bằng $8km/s$. Hỏi sau đúng 20 phút kể từ khi rời khỏi bề mặt Trái Đất thì khoảng cách từ tàu vũ trụ đến một điểm trên đường tròn xích đạo ngắn nhất bằng bao nhiêu kilomet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho hình lập phương $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 20 cm. Hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí $A$ và $D$, kiến vàng đi từ $A$ đến $D^{\prime }$ với vận tốc 2cm/s và kiến đen đi từ $D$ đến $B$ với vận tốc 3cm/s. Hỏi khoảng cách ngắn giữa hai chú kiến là bao nhiêu cm. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Hệ thống định vị toàn cầu $GPS$ là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có ba vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(4;6;6)$, $B(4;6;2)$, $C(6;2;14)$; vị trí $M(a;b;c)\in (Oxy)$ sao cho $P=M{A}^2+2M{B}^2+3M{C}^2$ nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của $P$?