Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{3}a$, thể tích khối chóp tứ giác $A^{\prime }.BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ bằng

Gọi chiều cao lăng trụ là $h=A{A}^{\prime }$. Vì lăng trụ đứng và đáy vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$ và $BC\perp B{B}^{\prime }\Rightarrow BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\Rightarrow BC\perp A^{\prime }B$.
Kẻ $AH\perp A^{\prime }B$ tại $H$, do $AH\perp BC$ nên $AH\perp (A^{\prime }BC)$, suy ra $d(A,(A^{\prime }BC))=AH=\frac{\sqrt{6}}{3}a$.
Trong tam giác vuông $A^{\prime }AB$ tại $A$:
$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{A{B}^2}\iff \frac{1}{\frac{6}{9}{a}^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{a^2}\iff \frac{3}{2a^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{a^2}\iff \frac{1}{h^2}=\frac{1}{2a^2}\Rightarrow h=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{△ABC}\cdot h=\frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{2}$.
Thể tích khối chóp tứ giác $A^{\prime }.BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là:
$V_{A^{\prime }.BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=V-V_{A^{\prime }.ABC}=V-\frac{1}{3}V=\frac{2}{3}V=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}{a}^3}{2}=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$. Vậy chọn C.