Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=\sqrt{17}a$, $AB=3a,BC=5a$ và $CA=7a$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

Trong tam giác $ABC$, nửa chu vi $p=\frac{3a+5a+7a}{2}=\frac{15a}{2}$, diện tích đáy $S_{△ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}=\frac{15\sqrt{3}}{4}{a}^2$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4S_{△ABC}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}a$. Vì $SA=SB=SC=\sqrt{17}a$ nên chân đường cao $H$ của chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $△ABC$, suy ra $SH=\sqrt{S{A}^2-R^2}=\sqrt{17a^2-\frac{49}{3}{a}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SH\cdot S_{△ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a\cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{5\sqrt{2}}{4}{a}^3$. Chọn D.