Biết rằng ${\int }_1^4\frac{1}{x^4+x}\mathrm{d}x=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 13$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Giá trị của biểu thức $P=a^2-4bc$ bằng

Cho ${\int }_1^2\left[3f(x)+2g(x)\right]dx=1$, ${\int }_1^2\left[2f(x)-g(x)\right]dx=-3$. Khi đó, ${\int }_1^{2}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;2]$ và $f(1)=1$, $f(2)=5$. Khi đó tích phân ${\int }_1^2\left[f^{\prime }(x)+1\right]dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là đường gấp khúc như hình vẽ bên dưới. Giá trị của tích phân $I={\int }_{-1}^4\left[2f(x)+3\right]dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$. Biết rằng $(C)$ đi qua điểm $A(1;4)$; tiếp tuyến $d$ tại $A$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $-2$ và $0$; diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$, đồ thị $(C)$ và hai đường thẳng $x=-2$, $x=0$ có diện tích bằng $\frac{28}{5}$ (phần gạch sọc). Giá trị của ${\int }_0^{1}f(x)dx$ bằng

Diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây?

Sau khi đọc xong truyện ngắn rất cảm động “Chiếc lá cuối cùng” của nhà văn O. Henry, bạn An muốn thiết kế hình ảnh một chiếc lá để gửi đến chị em Johnsy và Sue. Chiếc lá là một hình phẳng được giới hạn bởi hai phần parabol giống nhau. Biết một parabol có đỉnh là điểm $O$ và trục đối xứng của hình phẳng này là một đường thẳng tạo với phương ngang góc $60^{\circ }$. Với các kích thước được cho như hình vẽ, hãy tính diện tích của chiếc lá. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của ${\text{cm}}^2$)