Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $M$ thuộc cạnh $A{A}^{\prime }$ sao cho $MA=3M{A}^{\prime }$. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và thể tích khối chóp $M.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Các điểm $M,N,P$ lần lượt nằm trên các cạnh bên $SA,SC,SD$ sao cho $\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2}$; $\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}$; $\frac{SP}{SD}=\frac{1}{3}$ (tham khảo hình vẽ). Tính tỉ số $\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABCD}}$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $AB{A}^{\prime }$ và $M$ là tâm của mặt bên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ biết khối tứ diện $AGCM$ có thể tích bằng $6$.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $V$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên cạnh $B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $\frac{M{B}^{\prime }}{MB}=\frac{N{C}^{\prime }}{NC}=2$. Thể tích của khối $ABCMN$ bằng:

Cho khối chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $1$ và đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trên cạnh $SC$ lấy điểm $E$ sao cho $SE=2EC$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $SEBD$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Hai cạnh $AC,BD$ cắt nhau tại $O$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $(SAD)$ cắt khối chóp $S.ABCD$ tạo thành hai khối có thể tích lần lượt là $V_1;V_2(V_1<V_2)$. Giá trị của biểu thức $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $AB$ và $AD$ ($M,N$ không trùng $A$) sao cho $\frac{AB}{AM}+2\frac{AD}{AN}=4$. Gọi $V$ và $V^{\prime }$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.ABCD$ và $S.MBCDN$. Giá trị nhỏ nhất của $\frac{V^{\prime }}{V}$ bằng