Cho hình nón đỉnh $S$. Mặt phẳng chứa trục của hình nón cắt hình nón một thiết diện là tam giác vuông có cạnh huyền bằng $2a$. Mặt phẳng $(P)$ qua $S$ và tạo với mặt đáy một góc bằng $60^{\circ }$. Diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(P)$ và hình nón bằng

Đáp án D.

Gọi $O$ là tâm đáy của hình nón, $S$ là đỉnh, tam giác $SOA$ là nửa thiết diện của tam giác vuông. Khi đó dễ thấy rằng tam giác $SOA$ vuông cân, suy ra $OS=OA=OB=a$.
Gọi $SAB$ là tam giác thiết diện hợp với đáy góc $60^{\circ }$, gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Ta có $OM\perp AB$ vì tam giác $OAB$ cân tại $O$.
Hơn nữa, ta có $AB\perp OM$, $AB\perp SO\Rightarrow AB\perp (SOM)$, tức là $SM\perp AB$.
Do đó, $((SAB);(OAB))=\widehat{SMO}=60^{\circ }$.
Ta có $OM=OS\cdot \cot 60^{\circ }=a\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, suy ra $AB=2MA=2\sqrt{O{A}^2-O{M}^2}=2\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Do đó, $SM=\sqrt{O{M}^2+S{O}^2}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$.
Vậy diện tích thiết diện là: $S_{SAB}=\frac{1}{2}SM\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{2a\sqrt{6}}{3}=\frac{2a^2\sqrt{2}}{3}$.