Cho hình lập phương $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $2a$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương bằng $2a$. Chọn hệ trục $A(0,0,0)$, $B(2a,0,0)$, $C(2a,2a,0)$, $D(0,2a,0)$, $A^{\prime }(0,0,2a)$, $C^{\prime }(2a,2a,2a)$.

a) $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ (vì $BD\perp AC$ và $BD\perp A{A}^{\prime }$), nên $d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=\frac{BD}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$. Đúng.

b) $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ nên $d(B{B}^{\prime },CD)=d(A{A}^{\prime },CD)=AD=2a\ne 2a\sqrt{2}$. Sai.

c) Hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ song song, khoảng cách giữa chúng bằng $AD=2a\ne a$. Sai.

d) ${\vec{u}}_{AD}=(0,1,0)$, ${\vec{u}}_{A^{\prime }C}=(1,1,-1)$, ${\vec{u}}_{AD}\times {\vec{u}}_{A^{\prime }C}=(-1,0,-1)$, $\overrightarrow{A^{\prime }A}=(0,0,-2a)$.
$$d(AD,A^{\prime }C)=\frac{|\overrightarrow{A^{\prime }A}\cdot ({\vec{u}}_{AD}\times {\vec{u}}_{A^{\prime }C})|}{|{\vec{u}}_{AD}\times {\vec{u}}_{A^{\prime }C}|}=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$$ Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đúng – Sai – Sai – Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=\frac{BD}{2}=a\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(B{B}^{\prime },CD)=d(A{A}^{\prime },CD)=AD=2a\ne 2a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng $AD=2a\ne a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính bằng công thức khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau được $d(AD,A^{\prime }C)=a\sqrt{2}$.