Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 2. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B{B}^{\prime }$ và $AD$. Giá trị của $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$. Khi đó $C^{\prime }(2;2;2)$, $M$ trung điểm $B{B}^{\prime }$ là $(2;0;1)$, $N$ trung điểm $AD$ là $(0;1;0)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(-2;1;-1)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;2;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(-2)(2)+(1)(2)+(-1)(2)=-4+2-2=-4$. Vậy đáp án A.