Hàm số $y=f(x)=x+{\log }_2\frac{x+22}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Điều kiện xác định: (x+22)(x+1)>0 ⟹ x∈(−∞;−22)∪(−1;+∞), không phải (−∞;0) nên a) Sai. b) f'(x)=1+1/((x+22)ln2)−1/((x+1)ln2)=1−21/((x+22)(x+1)ln2), đúng nên b) Đúng. c) f'(x)=0 ⟺ (x+22)(x+1)=21/ln2≈30,3; phương trình x²+23x+22−21/ln2=0 có Δ=23²−4(22−21/ln2)>0, hai nghiệm trái dấu nên một nghiệm thuộc (−∞;−22) và một nghiệm thuộc (−1;+∞), đều trong miền xác định; f' đổi dấu qua mỗi nghiệm nên đồ thị có 2 điểm cực trị, c) Đúng. d) Điểm nguyên dương (x;y) trên (B): y−x=log₂((x+22)/(x+1))=k∈ℕ*. Với x>0 thì 1<(x+22)/(x+1)<22 nên k∈{1,2,3,4} (2⁴=16<22). Từ (x+22)/(x+1)=2^k ⟹ x=(22−2^k)/(2^k−1): k=1 ⟹ x=20, y=21; k=2 ⟹ x=6, y=8; k=3 ⟹ x=2, y=5; k=4 ⟹ x=6/15 không nguyên. Vậy các điểm nguyên dương là (20;21), (6;8), (2;5) — không thẳng hàng (vectors (18,16) và (4,3) từ (2;5) có tích có hướng 18·3−16·4=−10≠0), diện tích tam giác bằng ½·10=5≠10. Lưu ý: lời giải in trong tài liệu gốc (trang 19) liệt kê nhầm điểm (10;11) — thực tế log₂(32/11)≈1,54 không nguyên — và kết luận ba điểm thẳng hàng; lập luận đúng cho diện tích bằng 5, do đó khẳng định 'bằng 10' vẫn Sai. Kết luận các ý: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp với đáp án nguồn.
a) Điều kiện xác định: $\frac{x+22}{x+1}>0\Rightarrow (x+22)(x+1)>0\Rightarrow x\in (-\infty ;-22)\cup (-1;+\infty )$. (Sai)
b) Đạo hàm hàm số: $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{(x+22)\ln 2}-\frac{1}{(x+1)\ln 2}=1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}$. (Đúng)
c) Xét phương trình $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}=0\Rightarrow (x+22)(x+1)=\frac{21}{\ln 2}$ có hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng xác định của hàm số (có thể lập bảng biến thiên). Vậy hàm số có 2 cực trị. (Đúng)
d) Lưu ý: lời giải in trong tài liệu gốc (trang 19) cho ý này sai về mặt toán học; dưới đây là lập luận đã được kiểm tra lại. Các điểm có tọa độ $(x;y)$ nguyên dương thì ${\log }_2\frac{x+22}{x+1}=y-x$ cũng phải nguyên dương, gọi là $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Khi đó $\frac{x+22}{x+1}=2^k\Rightarrow x=\frac{22-2^k}{2^k-1}$. Với $k=1$: $x=20$, $y=21$; với $k=2$: $x=6$, $y=8$; với $k=3$: $x=2$, $y=5$; với $k\ge 4$ không cho $x$ nguyên. Vậy các điểm nguyên dương là $(20;21)$, $(6;8)$, $(2;5)$, tạo thành một tam giác (không thẳng hàng) có diện tích $\frac{1}{2}\left|14\cdot (-3)-13\cdot (-4)\right|=5\ne 10$. (Sai)