Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thể tích khối lập phương cạnh $a$ là $V=a^3$, không phải $\frac{a^3}{3}$ → sai.

b) Trong hình lập phương, $BD\perp AC$ (hình vuông $ABCD$) mà $BD\perp A{A}^{\prime }$ nên $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, suy ra $BD\perp A{C}^{\prime }$. Tương tự $A^{\prime }B\perp AB$ và $A^{\prime }B\perp B{C}^{\prime }$ (tam giác $AB{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B$) nên $A^{\prime }B\perp A{C}^{\prime }$. Vì $A{C}^{\prime }$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $A^{\prime }B$ trong mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ nên $A{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }BD)$ → đúng.

c) Gán tọa độ $A(0;0;0),B(a;0;0),A^{\prime }(0;0;a),C^{\prime }(a;a;a)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }A{C}^{\prime })$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(-1;1;0)$; mặt phẳng $(BA{C}^{\prime })$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(0;-1;1)$. $\cos (\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})=\frac{-1}{2}$ nên góc giữa hai mặt phẳng bằng $120^{\circ }$ (hoặc góc nhị diện tương ứng $120^{\circ }$), không phải $150^{\circ }$ → sai.

d) Hai đường thẳng $A{C}^{\prime }$ (chỉ hướng $(1;1;1)$) và $B{A}^{\prime }$ (chỉ hướng $(-1;0;1)$) vuông góc và chéo nhau. Vectơ giữa điểm chung gần nhất: giải $P=(t;t;t)\in A{C}^{\prime }$, $Q=(a-s;0;s)\in B{A}^{\prime }$, ta được $t=\frac{a}{3},s=\frac{a}{2}$, khi đó $\overrightarrow{PQ}=\left(\frac{a}{6};-\frac{a}{3};\frac{a}{6}\right)$, độ dài $d=\frac{a}{\sqrt{6}}$ — đây là đoạn vuông góc chung, nối trung điểm hai cạnh đối của tứ diện đều. Với tứ diện đều cạnh $\ell$, khoảng cách giữa hai cạnh đối là $\frac{\ell }{\sqrt{2}}$, nên $\frac{\ell }{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}}\Rightarrow \ell =\frac{a}{\sqrt{3}}$. Thể tích: $V=\frac{{\ell }^3\sqrt{2}}{12}=\frac{a^3}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{a^3\sqrt{6}}{108}$ → đúng. (Các đỉnh đều nằm trên các đoạn $A{C}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }$ vì $\ell =\frac{a}{\sqrt{3}}<a\sqrt{3}$ và $<a\sqrt{2}$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối lập phương cạnh $a$ là $a^3$, không phải $\frac{a^3}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\Rightarrow BD\perp A{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B\perp A{C}^{\prime }$ (tam giác $AB{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B$), nên $A{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }BD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ, pháp tuyến của $(A^{\prime }A{C}^{\prime })$ là $(-1;1;0)$, của $(BA{C}^{\prime })$ là $(0;-1;1)$, góc giữa hai mặt phẳng bằng $120^{\circ }$, không phải $150^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đoạn vuông góc chung của $A{C}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }$ có độ dài $\frac{a}{\sqrt{6}}$ và nối trung điểm hai cạnh đối của tứ diện đều, nên cạnh tứ diện $\ell =\frac{a}{\sqrt{3}}$, thể tích $V=\frac{{\ell }^3\sqrt{2}}{12}=\frac{a^3\sqrt{6}}{108}$.