Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$. Biết $SA=AD=DC=a$, $AB=2a$. Chứng minh rằng:

a. $CD\perp (SAD)$

b. $(SCM)\perp (SAB)$ với $M$ là trung điểm $AB$.

c. Tam giác $SCB$ vuông tại $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy là hình thang vuông tại A và D nên AB ∥ CD, AB ⊥ AD, CD ⊥ AD; M là trung điểm AB nên AM = a = DC, do đó AMCD là hình vuông.

a) Ta có CD ⊥ AD (giả thiết) và CD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD). CD ⊥ AD, CD ⊥ SA với AD, SA là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (SAD). Vậy CD ⊥ (SAD).

b) Vì AMCD là hình vuông nên MC ⊥ AB (hai đường chéo hình vuông vuông góc nhau). Mặt khác SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ MC. MC ⊥ AB và MC ⊥ SA, với AB, SA là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (SAB), suy ra MC ⊥ (SAB). Vì MC ⊂ (SCM) nên (SCM) ⊥ (SAB).

c) Tính các độ dài:
• AC² = AD² + DC² = a² + a² = 2a², nên SC² = SA² + AC² = a² + 2a² = 3a².
• Trong mặt phẳng đáy, kẻ BH ⊥ DC (H trên tia DC), BH = AD = a, CH = AB − DC = 2a − a = a, nên CB² = BH² + CH² = a² + a² = 2a².
• SB² = SA² + AB² = a² + 4a² = 5a².
Ta có SC² + CB² = 3a² + 2a² = 5a² = SB². Theo định lý Pythagoras đảo, tam giác SCB vuông tại C.