Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng


Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM\perp BC$ và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $A^{\prime }BC$ cân tại $A^{\prime }$ nên $A^{\prime }M\perp BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }MA}=45^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $A^{\prime }AM$ có $\hat{A}=90^{\circ }$:
$A{A}^{\prime }=AM\tan 45^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Diện tích đáy là tam giác đều: $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối lăng trụ là:
$V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^3}{8}$. Chọn A.