Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2a,AD=a\sqrt{3}$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy là $30^{\circ }$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là


Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SD$ và đáy $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}=30^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $SAD$: $SA=AD\tan 30^{\circ }=a\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=a$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình chữ nhật $ABCD$ là:
$R_{day}=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}}{2}=\frac{\sqrt{4a^2+3a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
$R=\sqrt{R_{day}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp là $S=4\pi R^2=4\pi (a\sqrt{2}{)}^2=8\pi a^2$. Chọn A.