Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=2$, $AC=3$. Góc $\widehat{CA{A}^{\prime }}=90^{\circ }$, $\widehat{BA{A}^{\prime }}=120^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B{B}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Biết $CM$ vuông góc với $A^{\prime }B$, tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa hoặc hệ thức tích vô hướng các vectơ: Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, với $|\vec{u}|=c$, ta biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{CM}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }B}$ theo ba vectơ cơ sở $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Điều kiện $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }B}=0$ cho ta phương trình bậc hai xác định độ dài cạnh bên $A{A}^{\prime }$. Từ đó tính được chiều cao của khối lăng trụ và thể tích $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{3(1+\sqrt{33})}{4}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.