Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (như hình vẽ). Lấy các điểm $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ và điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $(DEB)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }F)$. B. $(EFG)\parallel (BCD)$.
C. $(D{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (AEF)$. D. $(DEG)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ với gốc $A$: $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{AC}$, $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Khi đó $D=\frac{1}{2}\vec{u}$, $E=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{u}$, $F=\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{u}$, $B^{\prime }=\vec{b}+\vec{u}$, $C^{\prime }=\vec{c}+\vec{u}$, $G=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$.

Xét phương án C: $(D{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (AEF)$.
- $EF$ là đường trung bình của tam giác $BC{C}^{\prime }$ nên $EF\parallel BC$; mà $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ nên $EF\parallel (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
- $\overrightarrow{AE}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{u}$ và $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=(\vec{b}+\vec{u})-\frac{1}{2}\vec{u}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{u}=\overrightarrow{AE}$, tức $AE\parallel D{B}^{\prime }$, với $D{B}^{\prime }\subset (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $AE\not\subset (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $AE\parallel (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Vì $(AEF)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $AE,EF$ cùng song song với $(D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $(AEF)\parallel (D{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Phương án C đúng.

Các phương án còn lại sai:
- A: $(DEB)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }F)$: $DE\parallel A{A}^{\prime }$ nhưng $EB$ nằm trên $B{B}^{\prime }$, $B^{\prime }F$ nằm trên $C{C}^{\prime }$ không song song nhau, $DE$ không song song $A^{\prime }{B}^{\prime }$, hai mặt phẳng cắt nhau.
- B: $(EFG)$ và $(BCD)$: $\overrightarrow{EG}=\frac{1}{3}\vec{c}-\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{u}$ không biểu diễn được qua $\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$ và $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\vec{u}-\vec{b}$ (mâu thuẫn hệ số $\beta =\frac{1}{2}$ và $\beta =\frac{1}{3}$), hai mặt phẳng không song song.
- D: $(DEG)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }C)$: $\overrightarrow{EG}$ không biểu diễn được qua $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\vec{b}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\vec{c}-\vec{u}$ (cùng mâu thuẫn hệ số), hai mặt phẳng cắt nhau.