Cho hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M$ là trọng tâm $△ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt $(ADF)$. Lấy $N$ là giao điểm của $(P)$ và $AC$. Chứng minh:
a) $EFDC$ là hình thap b) $FD//EC$ c) $(ADF)//(BCE)$. d) $\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Giải chi tiết Câu 15 (Bài 13 – Phần 3):

a) $EFDC$ là hình thang:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $DC//AB$ và $DC=AB$. Vì $ABEF$ là hình bình hành nên $EF//AB$ và $EF=AB$. Suy ra $EF//DC$ và $EF=DC$. Tứ giác $EFDC$ có cặp cạnh đối $EF$, $DC$ song song (và bằng nhau) nên $EFDC$ là hình thap (thực chất là hình bình hành, là trường hợp đặc biệt của hình thang).

b) $FD//EC$:
Tứ giác $EFDC$ có $EF//DC$ và $EF=DC$ (chứng minh ở a) nên $EFDC$ là hình bình hành. Do đó hai đường chéo... chính xác hơn hai cạnh đối $FD$ và $EC$ song song: $FD//EC$.

c) $(ADF)//(BCE)$:
Ta có: $AD//BC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành) mà $AD\subset (ADF)$, $BC\subset (BCE)$.
Lại có $FD//EC$ (chứng minh ở b) mà $FD\subset (ADF)$, $EC\subset (BCE)$.
Trong mặt phẳng $(BCE)$, $BC$ và $EC$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $E$; tương tự $AD$ và $FD$ cắt nhau tại $D$ trong $(ADF)$. Theo định lí về điều kiện song song của hai mặt phẳng, suy ra $(ADF)//(BCE)$.

d) $\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$:
Vì $ABEF$ là hình bình hành nên $AF//BE$. Hai mặt phẳng $(ADF)$ và $(ABEF)$ có chung hai điểm $A$, $F$ nên giao tuyến của chúng là $AF$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với $(ADF)$, nên giao tuyến $(P)\cap (ABEF)$ là đường thẳng $\ell$ đi qua $M$ và song song với $AF$ (do đó $\ell //BE$).
Trong mặt phẳng $(ABEF)$, gọi $K$ là giao điểm của $\ell$ với $AB$. Vì $\ell //BE$, áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác $ABE$ với $M$ là trọng tâm ($AM$ cắt $BE$ tại trung điểm $I$ của $BE$, $MI=(1/3)\cdot$đường trung bình... cụ thể: đường thẳng qua trọng tâm $M$ song song với $BE$ cắt $AB$ tại $K$ thì $\frac{AK}{AB}=\frac{2}{3}$ — vì $M$ nằm trên trung tuyến $AI$ với $AM=\frac{2}{3}AI$, đường thẳng qua $M$ song song $BE$ nên $AK=\frac{2}{3}AB$).
Vậy $K\in AB$ với $AK=\frac{2}{3}AB$ và $K\in (P)$.
Xét mặt phẳng $(ABCD)$: $(ADF)\cap (ABCD)=AD$, nên $(P)\cap (ABCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $K$ và song song với $AD$. Đường thẳng $d$ nằm trong $(ABCD)$, cắt $AC$ tại $N$ (chính là $N=(P)\cap AC$).
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, vì $KN//AD$, áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác $ACD$ (hoặc xét tam giác với đường thẳng song song):
$\frac{AN}{AC}=\frac{AK}{AB}=\frac{2}{3}$.
Suy ra $\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$. Đpcm.

Kiểm tra: $M=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE})$ không thuộc $(ADF)$ nên $(P)$ tồn tại duy nhất và khác $(ADF)$; mọi kết luận a, b, c, d đều đúng.