Cho lăng trụ tam giác $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $I,K,G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime },AC{C}^{\prime }$. Gọi $M,M^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ $A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(0,1,1)$.

a) Trong hình bình hành $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $M{M}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$. Hai tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng nhau nằm trong hai mặt phẳng song song nên $AM\parallel A^{\prime }{M}^{\prime }$ và $AM=A^{\prime }{M}^{\prime }$. Vậy $AM{M}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành. Đúng.

b) $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\frac{AI}{AM}=\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$ (điểm $N$ không được định nghĩa trong đề). Sai.

c) $I(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0)$, $K(\frac{1}{3},\frac{1}{3},1)$, $G(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$. Mặt phẳng $(IKG)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{IK}\times \overrightarrow{IG}=(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},0)$, tức $(IKG):x+y=\frac{2}{3}$, song song với $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }):x+y=1$. Hai mặt phẳng không cắt nhau. Sai.

d) $(A^{\prime }KG)$ qua $A^{\prime }(0,0,1),K(\frac{1}{3},\frac{1}{3},1),G(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$ có phương trình $x-y-z+1=0$; $(AI{B}^{\prime })$ qua $A(0,0,0),I(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0),B^{\prime }(1,0,1)$ có phương trình $x-y-z=0$. Hai pháp tuyến tỉ lệ $(1,-1,-1)$ và $A^{\prime }\notin (AI{B}^{\prime })$ nên hai mặt phẳng song song. Đúng.

Kết luận: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $M{M}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ (trong hình bình hành $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$) và $AM\parallel A^{\prime }{M}^{\prime }$, $AM=A^{\prime }{M}^{\prime }$ nên $AM{M}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\frac{AI}{AM}=\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$; hơn nữa điểm $N$ không được định nghĩa trong đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với tọa độ $A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),C^{\prime }(0,1,1)$: $I(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0),K(\frac{1}{3},\frac{1}{3},1),G(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})$, mặt $(IKG):x+y=\frac{2}{3}$ song song với $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }):x+y=1$, nên hai mặt phẳng không cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(A^{\prime }KG):x-y-z+1=0$ và $(AI{B}^{\prime }):x-y-z=0$ có pháp tuyến tỉ lệ $(1,-1,-1)$ và $A^{\prime }\notin (AI{B}^{\prime })$, nên $(A^{\prime }KG)\parallel (AI{B}^{\prime })$.