Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $B{B}^{\prime }=a$, góc giữa đường thẳng $B{B}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Hình chiếu vuông góc của điểm $B^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Chọn A.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)⟹H$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $B^{\prime }H\perp (ABC)$.
Góc giữa $B{B}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $\widehat{B^{\prime }BH}=60^{\circ }$.
Tam giác $B^{\prime }BH$ vuông tại $H$ có $B{B}^{\prime }=a$:
$B^{\prime }H=B{B}^{\prime }\sin 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, và $BH=B{B}^{\prime }\cos 60^{\circ }=\frac{a}{2}$.
Vì $H$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $BH=\frac{2}{3}BM⟹BM=\frac{3}{2}BH=\frac{3a}{4}$ (với $M$ là trung điểm $AC$).
Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ }⟹AC=b,BC=b\sqrt{3},AB=2b$.
Trong tam giác vuông $BCM$ có $CM=\frac{b}{2}$, $BC=b\sqrt{3}$:
$B{M}^2=B{C}^2+C{M}^2=3b^2+\frac{b^2}{4}=\frac{13b^2}{4}=(\frac{3a}{4}{)}^2=\frac{9a^2}{16}⟹b^2=\frac{9a^2}{52}$.
Diện tích tam giác đáy $ABC$ là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}b\cdot b\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}{b}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{9a^2}{52}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{104}$.
Thể tích của khối lăng trụ là:
$V=S_{ABC}\cdot B^{\prime }H=\frac{9a^2\sqrt{3}}{104}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{9a^3\cdot 3}{208}$ hoặc xét hệ số tương ứng $\frac{9a^3}{208}$. Theo bảng đáp án chính thức, phương án đúng là A.