Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, với $AB=6,BC=4$. Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB,BC,AD$ và $FK=EL=\frac{3}{5}OL$. Biết hai cung $GEH$, $GFH$ lần lượt là cung tròn nằm trên đường tròn tâm $K$ có bán kính $KE$ và đường tròn tâm $L$ có bán kính $LF$. Tính tổng diện tích $S_1+S_2+S_3+S_4$ (phần hình được gạch sọc như hình vẽ).

Vì tính đối xứng của hình nên $S_1=S_2=S_3=S_4$.
Xét hình $S_2$.
Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ

Khi đó $G(-3;0),H(3;0),E(0;2)$

+ Viết phương trình đường tròn $(K)$ có tâm $K$ và đi qua 3 điểm $G,E,H$.

Giả sử đường tròn đi qua 3 điểm $G,E,H$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}6a+c=-9\\ -6a+c=-9\\ -4b+c=-4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ b=-\frac{5}{4}\\ c=-9\end{array}\Rightarrow K\left(0;-\frac{5}{4}\right),r_k=\sqrt{0^2+{\left(-\frac{5}{4}\right)}^2+9}=\frac{13}{4}$.

suy ra phương trình $(K):x^2+{\left(y+\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{169}{16}$.

Do đó cung tròn đi qua $G,E,H$ có phương trình là $y=\sqrt{\frac{169}{16}-x^2}-\frac{5}{4}$.

+ Viết phương trình đường thẳng $EH:y=-\frac{2}{3}x+2$.

+ Diện tích $S_2$ là hình phẳng giới hạn bởi cung tròn $GEH$ với đường thẳng $EH$ suy ra $S_2=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[\sqrt{\frac{169}{16}-x^2}-\frac{5}{4}-\left(-\frac{2}{3}x+2\right)\right]dx=1,335775\to A$.

Vậy $S_1+S_2+S_3+S_4=4S_1=4A\approx 5,3431$.