Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 1 và $A{A}^{\prime }=2$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$.

Gọi $O$ là trung điểm $BC$, dựng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.



Khi đó $A\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;0\right),C\left(0;\frac{1}{2};0\right),B\left(0;-\frac{1}{2};0\right),A^{\prime }\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;2\right),B^{\prime }\left(0;-\frac{1}{2};2\right)$.

+ Trung điểm $M$ của $A{A}^{\prime }$ có tọa độ là $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;1\right)$.

+ Viết phương trình mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$.

Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};-2\right)$ và $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;1;-2)$

nên $\vec{n}=\left[\overrightarrow{B^{\prime }A},\overrightarrow{B^{\prime }C}\right]=\left(1;\sqrt{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $(B^{\prime }AC)$.

và $(B^{\prime }AC)$ đi qua điểm $B^{\prime }$

suy ra phương trình mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$ là $2\sqrt{3}x+6y+3z-3=0$.

+ Vậy khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(B^{\prime }AC)$ là $d\left(M,(B^{\prime }AC)\right)=\frac{\sqrt{57}}{19}\approx 0,3974$.