Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Điểm $M$ là trung điểm của $SA$, $N$ thuộc cạnh $CD$ thỏa mãn $CN=2ND$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Đúng. S, O là 2 điểm chung của 2 mp (SAC) và (SBD) nên $SO=(SAC)\cap (SBD)$.

b) Đúng. M, O lần lượt là trung điểm của SA, AC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC nên $MO\parallel SC$.

c) Sai. Ta có $\{\begin{array}{l}M\in (BCM)\cap (SAD)\\ BC\parallel AD\\ BC\subset (BCM),AD\subset (SAD)\end{array}\Rightarrow (BCM)\cap (SAD)=Mx$ (qua M và $Mx\parallel BC\parallel AD$).

d) Đúng. Chọn (SAN) chứa MN. Trong mp (ABCD), $AN\cap BD=J\Rightarrow (SAN)\cap (SBD)=SJ$. Trong (SAN), $MN\cap SJ=I\Rightarrow I=MN\cap (SBD)$. Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác MAN có cát tuyến SIJ, ta có $\frac{MI}{NI}\cdot \frac{NJ}{AJ}\cdot \frac{AS}{MS}=1$. Lại có $DN\parallel AB\Rightarrow \frac{JN}{JA}=\frac{DN}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{MI}{NI}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{1}=1\Rightarrow 2IM=3IN$.
a) S, O là 2 điểm chung của 2 mp (SAC) và (SBD) nên $SO=(SAC)\cap (SBD)$ nên a) Đúng
b) M, O lần lượt là trung điểm của SA, AC nên MO là đường trung bình của tam giác SAC nên $MO\parallel SC$. Vậy b) Đúng
c) Ta có $\{\begin{array}{l}M\in (BCM)\cap (SAD)\\ BC\parallel AD\\ BC\subset (BCM),AD\subset (SAD)\end{array}\Rightarrow (BCM)\cap (SAD)=Mx$ (qua M và $Mx\parallel BC\parallel AD$) nên c) Sai
d) Chọn (SAN) chứa MN

Trong mp (ABCD), $AN\cap BD=J\Rightarrow (SAN)\cap (SBD)=SJ$

Trong (SAN), $MN\cap SJ=I\Rightarrow I=MN\cap (SBD)$

Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác MAN có cát tuyến SIJ, ta có

$\frac{MI}{NI}\cdot \frac{NJ}{AJ}\cdot \frac{AS}{MS}=1$. Lại có $DN\parallel AB\Rightarrow \frac{JN}{JA}=\frac{DN}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{MI}{NI}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{1}=1\Rightarrow 2IM=3IN$ nên d) Đúng