Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AB$, $M,N$ theo thứ tự là trọng tâm tam giác $ABC$ và $ABD$.

a) Chứng minh $MN\parallel CD$.

b) Gọi $E$ là trung điểm của $CD$, $P$ thuộc $AE$ sao cho $AE=3AP$. Tìm $K,H$ lần lượt là giao điểm của $(MNP)$ với $BC$ và $BD$. Tính tỉ số $\frac{BK}{BC}$.

Vẽ đúng hình làm được phần a



a) Gọi I là trung điểm của AB. Ta có M,N lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ABD nên M thuộc IC, N thuộc ID $\Rightarrow MN\subset (ICD)$

Xét tam giác ICD, ta có: $\frac{IM}{IC}=\frac{IN}{ID}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN\parallel CD$ (theo định lí talet đảo)

b) Gọi F là trung điểm của CD . Ta có: $M\in AF,P\in AE\Rightarrow MP\subset (AEF)$

Chọn mp (BCD) chứa BC, BD

Trong mp(AEF), $MP\cap EF=Q$

Lại có $\{\begin{array}{l}MN\parallel CD\\ MN\subset (MNP)\\ CD\subset (BCD)\end{array}\Rightarrow (MNP)\cap (BCD)=Qx$ (qua Q và song song với MN và CD)

Trong mp (BCD), $Qx\cap BC=K,Qx\cap BD=H$, thì $K,H$ lần lượt là giao điểm của $(MNP)$ với $BC$ và $BD$

Xét định lí Menelaus trong tam giác AEF có cát tuyến MPQ, ta có:

$$\frac{AM}{FM}\cdot \frac{FQ}{EQ}\cdot \frac{EP}{AP}=1\iff \frac{2}{1}\cdot \frac{FQ}{EQ}\cdot \frac{2}{1}=1\Rightarrow \frac{FQ}{EQ}=\frac{1}{4}.$$

Do $QK\parallel CE\Rightarrow \frac{KF}{FC}=\frac{QF}{EF}=\frac{1}{3}\Rightarrow FC=3KF$

$$\Rightarrow \frac{BK}{BC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$