(6 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân ($AB\parallel CD$), $SCD$ là tam giác đều và $AB=2AD=2DC=2CB=4a$. Qua điểm $M$ trên đoạn $AD$ sao cho $MD=3MA$, vẽ mặt phẳng $(\alpha )$ song song với mặt phẳng $(SCD)$.

a) Chứng minh rằng thiết diện tạo được từ $(\alpha )$ với hình chóp đã cho là một hình thang cân. Tính chu vi của thiết diện đó.

b) Giả sử rằng $M$ cách đều $D$ và trung điểm của đoạn $SD$. Tính cosin của góc nhị diện $[A,SD,C]$.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Thiết diện là hình thang cân, chu vi $\frac{21a}{2}$.**

Dùng hệ tọa độ: $D(0;0;0)$, $C(2a;0;0)$. Đáy là hình thang cân với $AD=CB=2a$, $AB=4a$ nên $A(-a;\sqrt{3}a;0)$, $B(5a;\sqrt{3}a;0)$. Gọi $S(a;y;z)$ với $a^2+y^2+z^2=4a^2$ (tam giác đều $SCD$ cạnh $2a$). Vì $MD=3MA$, $AD=2a$ nên $MA=\frac{a}{2}$, $MD=\frac{3a}{2}$, suy ra $M=\frac{3A+D}{4}=\left(-\frac{3a}{4};\frac{3\sqrt{3}a}{4};0\right)$.

Véc-tơ pháp tuyến của $(SCD)$: $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0;-z;y)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ song song $(SCD)$ có phương trình: $-z\left(Y-\frac{3\sqrt{3}a}{4}\right)+yZ=0$, tức $Z=\frac{z}{y}\left(Y-\frac{3\sqrt{3}a}{4}\right)$.

- Giao $P$ với $SA$: đặt $P=S+t(A-S)$, thay vào phương trình suy ra $t=\frac{3}{4}$, nên $P=\left(-\frac{a}{2};\frac{y}{4}+\frac{3\sqrt{3}a}{4};\frac{z}{4}\right)$.
- Giao $Q$ với $SB$: tương tự $t=\frac{3}{4}$, $Q=\left(4a;\frac{y}{4}+\frac{3\sqrt{3}a}{4};\frac{z}{4}\right)$.
- Giao $N$ với $BC$: $N=C+t(B-C)$, điều kiện $Z=0$ cho $Y=\frac{3\sqrt{3}a}{4}\Rightarrow t=\frac{3}{4}$, $N=\left(\frac{17a}{4};\frac{3\sqrt{3}a}{4};0\right)$.

Thiết diện là tứ giác $MPQN$ (không cắt $SC,SD$ vì $(\alpha )\parallel (SCD)$; không cắt $AB$ vì các giao điểm trên $SA,SB,BC$ đều có $t=3/4<1$).

$MN$: $M,N$ cùng có $Y=\frac{3\sqrt{3}a}{4},Z=0$ nên $MN\parallel AB$, $MN=\frac{17a}{4}+\frac{3a}{4}=5a$. Tương tự $PQ\parallel MN$, $PQ=4a+\frac{a}{2}=\frac{9a}{2}$. Vậy $MPQN$ là hình thang.

$P{M}^2={\left(\frac{a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{y}{4}\right)}^2+{\left(\frac{z}{4}\right)}^2=\frac{a^2+y^2+z^2}{16}=\frac{4a^2}{16}\Rightarrow PM=\frac{a}{2}$; tương tự $QN=\frac{a}{2}$. Hai cạnh bên bằng nhau nên hình thang cân. Chu vi $=5a+\frac{9a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=\frac{21a}{2}$.

**b) $\cos [A,SD,C]=\frac{\sqrt{6}}{3}$.**

Trung điểm $E$ của $SD$ là $E\left(\frac{a}{2};\frac{y}{2};\frac{z}{2}\right)$. Điều kiện $ME=MD=\frac{3a}{2}$:
$$M{E}^2={\left(-\frac{5a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3\sqrt{3}a}{4}-\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{z^2}{4}=\frac{13a^2}{4}-\frac{3\sqrt{3}ay}{4}+\frac{y^2+z^2}{4}=4a^2-\frac{3\sqrt{3}ay}{4}=\frac{9a^2}{4}$$
(sử dụng $y^2+z^2=3a^2$). Suy ra $y=\frac{7a}{3\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}a}{9}$, khi đó $z^2=3a^2-\frac{49a^2}{27}=\frac{32a^2}{27}$ (hợp lệ vì $y^2<3a^2$).

Góc nhị diện $[A,SD,C]$: pháp tuyến của $(CSD)$ là ${\vec{n}}_1=(0;-z;y)$; pháp tuyến của $(ASD)$ là ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{DA}\times \overrightarrow{DS}=(\sqrt{3}az;az;-ay-\sqrt{3}{a}^2)$.

${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=-a{z}^2-a{y}^2-\sqrt{3}{a}^{2}y=-a(y^2+z^2)-\sqrt{3}{a}^{2}y=-3a^3-\frac{7a^3}{3}=-\frac{16a^3}{3}$.

$|{\vec{n}}_1|=\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{3}a$; $|{\vec{n}}_2{|}^2=4a^2{z}^2+a^2(y+\sqrt{3}a{)}^2=\frac{128a^4}{27}+\frac{256a^4}{27}=\frac{128a^4}{9}\Rightarrow |{\vec{n}}_2|=\frac{8\sqrt{2}{a}^2}{3}$.

$$\cos [A,SD,C]=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{16a^3/3}{\sqrt{3}a\cdot 8\sqrt{2}{a}^2/3}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$