(2 điểm) Có $2n$ ($n$ nguyên dương) kỳ thủ tham gia một giải thi đấu cờ vua, trong đó có hai bạn tên là Hoà và Bình. Ban tổ chức chia các kỳ thủ này thành $n$ cặp để thi đấu với nhau.

a) Tính số cách chia cặp và chứng minh rằng số lượng đó luôn là một số lẻ.

b) Biết rằng xác suất để hai bạn Hoà và Bình thi đấu cùng cặp là $\frac{1}{23}$, tìm $n$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số cách chia $2n$ kỳ thủ thành $n$ cặp không thứ tự: xếp $2n$ người thành dãy rồi ghép đôi liên tiếp, chia cho $n!$ (thứ tự các cặp) và $2^n$ (thứ tự trong mỗi cặp): $$N=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}=(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1=(2n-1)!!.$$ Tích này gồm các thừa số lẻ nên $N$ luôn là số lẻ (quy nạp: $N_n=(2n-1)N_{n-1}$, $N_1=1$ lẻ, tích hai số lẻ là lẻ).

b) Cố định vị trí của Hoà; còn $2n-1$ kỳ thủ khác (trong đó có Bình) mỗi người có xác suất như nhau được ghép cặp với Hoà, nên xác suất để Bình cùng cặp với Hoà là $P=\frac{1}{2n-1}$. Theo đề: $\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{23}\Rightarrow 2n-1=23\Rightarrow n=12$. Kiểm tra: $n=12$ nguyên dương, có $24$ kỳ thủ, xác suất $=1/23$ đúng.